2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)
2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)
3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1．
2．常用对数与自然对数
3.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
[提示] 由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
2．若log3x＝3，则x＝( )
A．1 B．3
C．9 D．27
D [∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<0
B．0
C．0D．1B [由对数的定义可知
解得04．ln 1＝________，lg 10＝________．
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
指数式与对数式的互化
【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)log32＝－5；
(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
[解] (1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由log32＝－5，可得＝32.
(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
(4)由ln x＝2，可得e2＝x.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解] (1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；
(3)＝27；(4)()－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
【例2】 求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解] (1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m；
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625.
[解] (1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝log625，∴()x＝625，5＝54，∴x＝3.
应用对数的基本性质求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
【例3】 设5＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由5＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
1．在本例(2)条件不变的前提下，计算x的值．
[解] ∵x＝10，∴x＝10＝.
2．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
1．对数的概念：ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．
2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
3．对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.
1.思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积． ( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3. ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数． ( )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
C [C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________．
3 [由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4．求下列各式中的x值：
[解]
课件36张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数a>0，且a≠1 底数指数对数幂真数10e1没有0指数式与对数式的互化 利用指数式与对数式的关系求值 应用对数的基本性质求值点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 对数的运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．
2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示] 不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝．
1．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8
C．6 D．1
D [log84＋log82＝log88＝1.]
2．计算log510－log52等于( )
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
C [log510－log52＝log55＝1.]
3．log23·log32＝________．
1 [log23·log32＝×＝1.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝＝.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1.求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
对数的换底公式
【例2】 (1)计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝＝·＝.
对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1，
即logab＝.
【例3】 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
思路点拨：
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
[解] ∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝
＝<0，
∴3a<5b.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．
2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．
3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．
1．思考辨析
(1)log2x2＝2log2x. ( )
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ( )
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． ( )
(4)logx2＝. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．计算log92·log43＝( )
A．4 B．2
C. D.
D [log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( )
A. B.
C．ab D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22－＝－.
课件36张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第2课时 对数的运算对数运算性质的应用 对数的换底公式 对数运算性质的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 对数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( )
A．log3 e B．ln 3
C．e3 D．3e
B [∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，选B.]
2．方程的解是( )
A．9 B.
C. D.
D [∵＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]
3．log3 ＝( )
A．4 B．－4
C． D．－
B [令log3＝t，则3t＝＝3－4，∴t＝－4.]
4．log5(log3(log2x))＝0，则等于( )
A. B.
C. D.
C [∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
5．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5.
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [对于①，∵lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①对；
对于②，∵lg(ln e)＝lg 1＝0，∴②对；
对于③，∵10＝lg x，∴x＝1010，③错；
对于④，∵log25x＝，∴x＝25＝5.所以只有①②正确．]
二、填空题
6．log33＋3log32＝________．
3 [log33＋3log32＝1＋2＝3.]
8．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
(1，2)∪(2，＋∞) [要使log(x－1)(x＋2)有意义，则∴x>1且x≠2.]
三、解答题
[等级过关练]
课时分层作业(十八) 对数的运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.＝( )
A. B．2
C. D.
B [原式＝log39＝log332＝2log33＝2.]
2．已知3a＝2，则log38－2log36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
A [∵3a＝2，∴a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.]
3．若lg x－lg y＝a，则lg－lg等于( )
A．3a B.a
C．a D.
A [∵lg x－lg y＝a，∴lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg x－3lg y＝3a.]
4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④ B．①③
C．①④ D．②③
B [∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.]
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
A [∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m＞0，∴m＝.故选A.]
二、填空题
6．lg ＋lg ＝________．
1 [lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.]
7．若logab·log3a＝4，则b＝________．
81 [∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81.]
8．计算：log2·log3·log5＝________．
－12 [原式＝··＝
＝－12.]
三、解答题
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.
[解] (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg (xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
10．计算：
(1)；
(2)lg －lg ＋lg －log92·log43.
[解] (1)原式＝＝＝1.
(2)法一：原式＝lg ＋lg －×
＝lg－×
＝lg 1－＝－.
法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－×＝－lg 2＋lg 8－lg 4－×＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－＝－lg(2×4)＋lg 8－＝－.
[等级过关练]
1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D [由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.]
2．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.或4
B [由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，
所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，
所以＝1或＝4，
又x－2y>0，x>0，y>0，
所以>2，所以＝4.]
3.＝________．
1 [＝＝＝＝＝1.]
4．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
100 [∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.]
5．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
[解] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，
又＝logk4＝logk2，∴－＝.
