课时分层作业(四十一) 二面角及其度量
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角
B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角
C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角
D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角
B [由二面角的定义及三垂线定理，知选B.]
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A-BC-D的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
C [如图取BC的中点为E，连接AE、DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.]
3．如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A． B． C． D．
D [设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.]
4．已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α-l-β的大小为( )
A．120° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
C [设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°.]
5．如图所示，P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β的大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
D [不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB交AB于点E，NF⊥AB交AB于点F(图略)，因为∠EPM＝∠FPN＝45°，故PE＝，PF＝，于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB-β的大小为90°.]
6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
60°或120° [设二面角大小为θ，由题意可知
cos θ＝＝＝，
所以θ＝60°或120°.]
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P-BC-A的大小为________．
90° [取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.]
8．在空间四面体O-ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
0 [·＝·(－)
＝·－·
＝||·||cos－||·||·cos
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈·〉＝＝0.]
9．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，平面ABCD是一个直角梯形，AB⊥AD，AB，CD为梯形的两腰，且AB＝AD＝AA1＝a.
(1)若截面ACD1的面积为S，求点D到平面ACD1的距离；
(2)当为何值时，平面AB1C⊥平面AB1D1?
[解] (1)由VD-ACD1＝VC-ADD1，过C作CE⊥AD，垂足为E.
∵AA1⊥平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AA1D1D，
∴CE⊥平面AA1D1D，
∴CE＝a是C到平面ADD1的距离，
设点D到平面ACD1的距离为h，
由Sh＝×a2×a，得h＝.
(2)分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A1(0，0，0)，A(0，0，a)，B1(a，0，0)，
设C(a，b，a)，且n1＝(x，y，z)是平面AB1C的法向量，
∴＝(a，0，－a)，＝(a，b，0)．
则n1·＝0，n1·＝0，即ax－az＝0，ax＋by＝0，
得z＝x，y＝－x，
取x＝1，则y＝－，z＝1，
则n1＝为平面AB1C的一个法向量．
同理可得平面AB1D1的一个法向量为n2＝(1，1，1)．
若平面AB1C⊥平面AB1D1，则n1·n2＝0，∴＝2，
即当＝2时，平面AB1C⊥平面AB1D1.
10．如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
[解] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.
又BC＝AD，所以EFBC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，即＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ. ②
由①②解得(舍去)，
或
所以M，
从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
[能力提升练]
1．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )
A． B． C． D．
D [如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B，F，C，D.
结合图形可知，＝且为平面BOF的一个法向量，
由＝，＝，
可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为( )
A．－ B． C． D．
B [建系如图，设正方体棱长为1，则D(0，0，0)、A1(1，0，1)、E.
∴＝(1，0，1)，＝.
设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则.令x＝1，
则z＝－1，y＝－，
∴n＝.又平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
又平面A1ED与平面ABCD所成的二面角为锐角，
∴平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为.]
3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于________．
[∵底面对角线长为2，∴底面边长为2，从而利用体积得四棱锥的高为3，所求二面角的正切为＝＝.
∴侧面与底面所成的二面角为.]
4．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________．
60° [如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，连接AC、BD相交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD.作OE⊥CD，连接PE，则∠PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角．
由题意知PO＝3，
OE＝，∴tan∠PEO＝＝.
∴∠PEO＝60°.]
5.如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．
[解] (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP?平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH.
因为∠EBC＝120°，
所以四边形BEHC为菱形，
所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.
取AG的中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
所以∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.
在△BEC中，由于∠EBC＝120°，
由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，
所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°.
法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2，0，－3)，＝(1，，0)，＝(2，0，3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
故所求的角为60°.
3.2.4 二面角及其度量
学习目标：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)
1．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．
思考：如何找二面角的平面角？
[提示] (1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
2．用向量的夹角度量二面角
设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．
(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．
(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是. ( )
(2)若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，
则二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等． ( )
(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )
[提示] (1)× 不是．是[0，π]．
(2)× 不一定．可能相等，也可能互补．
(3)√
2．三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为( )
A． B． C．或 D．或
C [当二面角A-BD-C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；
当二面角A-BD-C为钝角时，它应等于π-〈n1，n2〉＝π－＝.]
3．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
[由题得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由知
令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝＝＝.]
用定义法求二面角
如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A-VB-C的余弦值．
[思路探究] 先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．
[解] 取VB的中点为E，
连接AE，CE.
∵VA＝VB＝VC＝AB，
∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos∠AEC＝＝－，
∴所求二面角A-VB-C的余弦值为－.
[规律方法] 用定义求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；
(3)解三角形求角．
[跟踪训练]
1．如图所示，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明AB⊥平面VAD；
(2)求面VAD与面VDB夹角的正切．
[解] (1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.
AB?平面ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面VAD.
(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.
∵△VAD是正三角形，
∵AE⊥VD，AE＝AD.
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.
又由三垂线定理知BE⊥VD.
因此，∠AEB是所求二面角的平面角．
于是tan∠AEB＝＝，
即平面VAD与平面VDB夹角的正切为.
用向量法求二面角
[探究问题]
1．构成二面角的平面角有几个要素？
[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
[提示]
条件
平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
[思路探究] (1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证．
(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值．
[解] (1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角，
所以二面角C1-OB1-D的余弦值为.
母题探究：1.(改变问法)本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值．
[解] 如图建立空间直角坐标系．
设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．
所以＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3，3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即取x2＝，则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－.
由图形可知二面角B-A1C-D的大小为钝角，所以二面角B-A1C-D的余弦值为－.
2．(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．
[解] 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E(1，，0)，D1(0，1，1)，F，＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1，2，1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令x2＝2，
则y2＝－1，z2＝1.所以n2＝(2，－1，1)．
所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为
＝
＝＝.
[规律方法] 利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
提醒：确定平面的法向量是关键.
空间中的翻折与探索性问题
如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB.将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC.
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
[解] (1)在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3.
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQDF，∵CEDF，∴CEPQ，
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，
∵CP?平面ABEF，EQ?平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.
(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC.
设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵线段FA，FC，FD的长成等比数列，
∴FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(0，0，0)，E(2，0，0)，C(2，2，0)，A(0，0，2)，
∴＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
则，
即，取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1，0，1)．
又＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
则，即，
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，
∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°.
[规律方法]
1．与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法
(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．
(2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通过三视图观察直观图中的对应线段的长度．
2．关于空间角的探索问题的处理思路
利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．
[跟踪训练]
2．如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．
[解] (1)ABCD为矩形，故AB⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)过点P作PO⊥AD于点O，
则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，
连接PM.则PM⊥BC，
因为∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，
所以BC＝，PM＝，
设AB＝t，则在Rt△POM中，PO＝，
所以VP-ABCD＝·t··
＝，
所以当t2＝，即t＝时，
VP-ABCD最大为.如图，
此时PO＝AB＝，且PO，OA，OM两两垂直，
以OA，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则P，D，
C，B.
所以＝，＝，＝.
设平面PCD的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则m＝(1，0，－2)，|m|＝；
同理设平面PBC的一个法向量n＝(x2，y2，z2)，
即
令y2＝1，则n＝(0，1，1)，|n|＝，
设平面PBC与平面DPC夹角为θ，显然θ为锐角，
且cos θ＝＝＝.
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
C [由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [易知∠A1BA为二面角A1 -BC-A的平面角，
cos∠A1BA＝＝.]
3．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．
[设直线l与平面α所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈a，n〉|＝＝＝.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是________．
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
则即
令x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1，1)，
则cos〈m，n〉＝＝，
所以二面角A1-BD-C1的余弦值为.]
5．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值．
[解] 如图，取B1C1的中点O1，BC的中点O，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，∴＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)．
设平面A1BD的法向量为n1＝(x，y，z)，
则n1·＝0且n1·＝0，
由此得
令x＝1，得，y＝2，z＝－，
故平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，2，－)．
设平面A1AD的法向量为n2＝(a，b，c)，
∵＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)，
由n2·＝0且n2·＝0得
令c＝－，，得a＝3，
故n2＝(3，0，－)为平面A1AD的一个法向量．
因此cos〈n1，n2〉＝＝＝.由于点B在半平面A1AD内的射影在线段AC上，故二面角A -A1D-B的平面角是锐角，故所求的二面角的余弦值是.
课件68张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.4 二面角及其度量选修2-1其中的每一部分一条直线出发的两个半平面这条直线每个半平面α-l-βA-l-B [0，π]任取一点O∠AOB用定义法求二面角 用向量法求二面角 空间中的翻折与探索性问题 点击右图进入…Thank you for watching !
