课时分层作业(四十二) 距离(选学)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为( )
A． B．2 C．3 D．4
B [过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5.又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2.]
2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为( )
A． B． C． D．
A [＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.]
3．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是( )
A．13 B．11 C．9 D．7
B [作PO⊥α于点O，连接OA、OB、OC(图略)，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，
∴PO＝＝11为所求．]
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A．a B．a C．a D．a
D [由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝|·|＝＝a.]
5．已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为( )
A． B． C． D．
A [建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝.
又＝(1，0，0)，∴在上的投影为＝，∴点P到AB的距离为＝.]
6．已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
2 [设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.]
7.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则有
解得n＝，则所求距离为＝＝.]
8.如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
[由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，
即，∴可取n＝(1，0，1)．又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.]
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱锥P-BCD的三视图如图所示，且sin∠BDC＝.
(1)求证：AD⊥PB.
(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为，求AD的长．
[解] (1)由三视图得PD⊥平面ABCD.
因为AD?平面ABCD，所以AD⊥PD.
又AD⊥DB，且PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，
所以AD⊥PD，又AD⊥DB，且PD∩BD＝D，
PD，BD?平面PBD，所以AD⊥平面PBD.
又PB?平面PBD，所以AD⊥PB.
(2)由(1)知，PD，AD，BD两两垂直，
以D为原点，以DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝λ，λ>0，结合sin∠BDC＝，得：A(λ，0，0)，B(0，3，0)，C，P(0，0，4)，
所以＝(λ，0，－4)，＝，＝(0，0，4)，
设n＝(x，y，z)为平面PCD的法向量，
由题意知
取y＝3，得n＝(4，3，0)，
设PA与平面PCD所成角为θ，
因为PA与平面PCD所成角的正弦值为，
所以sin θ＝|cos〈，n〉|
＝＝.
解得λ＝6，所以AD＝6.
10．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，PD的中点．问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由题意知PA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)．
假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．
令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m.
∴点Q的坐标为(2－m，2，0)，∴＝(2－m，2，－1)．
而＝(0，1，0)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则，∴，
令x＝1，则n＝(1，0，2－m)是平面EFQ的一个法向量．
又＝(0，0，1)，∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝，即(2－m)2＝，
∴m＝或，＞2，不合题意，舍去．
故存在点Q，且CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为.
[能力提升练]
1．如图所示，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A． B． C． D．
C [建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)．
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，
则PQ＝
＝
＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.]
2．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于( )
A． B． C．2 D．5
B [作出正四棱锥P-A′B′C′D′，如图，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A′(1，1，0)，B′(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面积的距离d＝＝.]
3．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为________．
[如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz，则B(4，0，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，G(0，0，2)，∴＝(－2，2，0)，＝(－4，－2，2)．
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则?，令x＝1，得平面EFG的一个法向量为n＝(1，1，3)，∵＝(0，2，0)，n＝(1，1，3)，∴|n|＝，·n＝2，∴点B到平面EFG的距离为＝.]
4．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是________．
[∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B.
∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求．
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝.
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是.]
5．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解] (1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，EF，＝，＝，＝，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此 ，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以AC到平面PEF的距离为.
3.2.5 距 离(选学)
学习目标：1.掌握向量长度计算公式．(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．(重点、难点)
1．距离的概念
一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．
2．点到平面的距离
(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．
(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
3．直线与它的平行平面的距离
(1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．
(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．
4．两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？
[提示]
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)可以用||2＝·，求空间两点A、B的距离． ( )
(2)设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝.( )
(3)若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离． ( )
[提示] (1)√ (2)√
(3)× 直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．
2．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A． B． C． D．
C [∵M点坐标为，
∴|MC|＝＝.]
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
D [＝(－1，－2，4)，d＝＝.]
空间两点间的距离
如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
(1)求MN的长．
(2)a为何值时，MN的长最小？
[思路探究] 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)．
因为CM＝BN＝a(0所以＝，
所以||＝.
(2)由(1)知MN＝，
所以，当a＝时，MN＝.
即当a＝时，MN的长最小，最小值为.
[规律方法] 计算两点间的距离的两种方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝＝求解.
(2)用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时.
[跟踪训练]
1．如图所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又∵二面角α-AB-β的平面角为120°，∴〈，〉＝60°，
∴|CD|2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
点到直线的距离
[探究问题]
1．如何理解与认识点到直线的距离？
[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.
(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示] 设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在向量s上的射影的大小为|·s0|，则点A到直线l的距离d＝.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[思路探究] 建立坐标系，利用向量法求解．
[解] 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝＝.
母题探究：1.(改变问法)本例条件不变，所求问题改为：若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到MN的距离．
[解] 如本例解法建系(图略)．
则M(2，0，1)，N，C1(0，3，1)，所以直线MN的方向向量为＝，＝(－2，3，0)，所以在上的投影为·＝，
所以C1到MN的距离为
d＝＝＝.
2．(变换条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离．
[解] 以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(1，，2)，
所以A1C1的方向向量＝(－1，，0)，而＝(1，，2)，
所以点B到直线A1C1的距离为
d＝
＝
＝＝.
[规律方法] 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.
点到平面的距离
如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
[思路探究] 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．
[解] 法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则
V＝×a××a×a＝a3，
V＝×h××(a)2＝a2h，
∵V＝V，
∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1 xyz，则A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，
则＝(a，a，0)，＝(0，a，a)，＝(－a，0，0)．
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
即∴
令y＝－1，则x＝z＝1，
∴n＝(1，－1，1)．
∴·n＝(－a，0，0)·(1，－1，1)＝－a.
∴点A到平面A1BD的距离d＝＝＝a.
[规律方法] 用向量法求点面距的方法与步骤
(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；
(4)得答案：代入公式d＝求得答案．
提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．
[跟踪训练]
2．如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0，2，0)，
S(0，0，2)，D(－1，4，0)，∴＝(0，－2，2)，＝(－1，4，－2)．
设平面SND的法向量为n＝(x，y，1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴
∴
∴n＝(2，1，1)，∵＝(0，0，2)．
∴点A到平面SND的距离为＝＝.
1．在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
A [以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意，得|MP|＝＝7.]
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
C [＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11.]
3．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A． B．1 C． D．
D [如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝.即点A1到平面ABCD的距离为.]
4．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°.D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．
[作DH⊥AC于点H，连接EH(图略)．因为DE⊥平面ABC，所以DE⊥AC，因为DE∩DH＝D，所以AC⊥平面DEH，所以EH⊥AC，所以EH即为所求距离．由∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝2，得BC＝.因为D是BC边上的中点，所以DH＝CD＝BC＝.又DE＝1，所以EH＝＝.]
5．如图所示，BO?平面α，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝1，试求AC的长．
[解] 如图，作CD⊥平面α于D，则∠DBC＝30°，∴∠BCD＝60°.
∴〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°.
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2cos 120°＝2.∴AC＝.
课件50张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.5 距 离(选学)选修2-1任一点任一点最小值垂线段正射影相等各点到α的距离相等直线与这个平面的距离垂直公垂线段公垂线段空间两点间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 点击右图进入…Thank you for watching !