2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
学习目标：1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意义．(重点)2.理解向量及其相等的概念．(重点)3.掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式．(重点)4.数轴上向量坐标与其长度之间的区别与联系．(难点)
1．数轴及向量概念
(1)数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．
(2)向量的概念
①向量
位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．
②相等向量
数轴上同向且等长的向量，叫做相等向量．
③向量的坐标
用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．
思考：零向量只有大小，没有方向吗？
[提示] 有方向，方向不确定．
2．数轴上的基本公式
位移的和
在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移叫做位移与位移的和，记作＝＋.
向量坐标运算法则
对数轴上任意三点A、B、C，都具有关系AC＝AB＋BC.
向量坐标表示及距离公式
已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则AB＝x2－x1，d(A，B)＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系． ( )
(2)相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等． ( )
(3)数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标． ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√
2．在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，解下列方程：
(1)|x＋3|＋|x－1|＝5；
(2)|x＋3|＋|x－1|＝4.
[解] (1)∵|x＋3|＋|x－1|表示数轴上点到A(－3)与B(1)的距离之和，而A(－3)到B(1)的距离为|1－(－3)|＝4，
又∵|x＋3|＋|x－1|＝5，∴x＝－3.5或x＝1.5.
∴方程的解为x＝－3.5或x＝1.5.
(2)∵|x＋3|＋|x－1|表示数轴上点到A(－3)与B(1)的距离之和，而A(－3)到B(1)的距离为|1－(－3)|＝4，
又∵|x＋3|＋|x－1|＝4，∴－3≤x≤1，
∴方程的解集为.
数轴上的点与实数间的关系
(1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；
(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系．
[解] (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a[规律方法] 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.
[跟踪训练]
1．不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系：
(1)A(－3.2)，B(－2.3)；(2)A(m)，B(m2＋1)；(3)A(|a|)，B(a)．
[解] (1)因为－2.3>－3.2，所以A(－3.2)位于B(－2.3)的左侧．
(2)因为m2＋1－m＝＋≥>0，
所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧．
(3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点．
当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧．
向量的相关概念辨析
已知AB＝3，CD＝－2，则下列说法不正确的是( )
A．>
B．|AB|>|CD|
C．AB＝3表示数轴上的向量的坐标为3，CD＝－2表示数轴上的向量的坐标为－2
D．AB＝3表示数轴上的向量的方向与数轴的方向相同；CD＝－2表示数轴上的向量的方向与数轴的方向相反
[思路探究] 准确把握数学概念是利用数学概念解决问题的关键．在题目中“AB”，“CD”反映的是数轴上的向量“”，“”的大小和方向，“|AB|”，“|CD|”反映的是数轴上向量“”，“”的大小．
A [∵向量不能比较大小，∴A选项错误；同时由向量的相关概念知，B、C、D都正确．故选A.]
[规律方法]
1．向量和数量的区别
(1)在数学中，既有大小，又有方向的量称为向量．而只有大小，没有方向的量称为数量．
(2)向量的两要素是大小、方向．其中大小是代数特征，方向是几何特征，因此向量不能像实数那样比较大小，因为方向没有大小之分．
2．向量的几何表示
由于几何中的有向线段具有长度和方向，而向量是一种既有大小又有方向的量，因此向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，如向量，A叫做的起点，B叫做的终点．
[跟踪训练]
2.如图所示，是数轴上的一个向量，O为原点，则下列各式中不成立的是( )
A．OA＝|| B．OB＝||
C．AB＝OB－OA D．BA＝OA－OB
B [由于点A在原点的右侧，点B在原点的左侧，可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大，即OA＝x1>0，OB＝x2<0，所以OA＝||＝|x1|＝x1，OB＝x2≠||＝|x2|＝－x2，AB＝x2－x1＝OB－OA，BA＝x1－x2＝OA－OB.故B不成立．]
数轴上两点的距离
[探究问题]
1．如果两点的位置不确定，如何求其距离？
[提示] 分类讨论．
2．向量的长度及数量的区别与联系．
[提示] |AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.
已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x.
当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x.
[思路探究] 数轴上两点间的距离?点与实数的对应关系?数轴上的基本公式．
[解] 由题意知
|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，
则3(x＋1)＝x－3 ①
或3(x＋1)＝－(x－3)． ②
解①得x＝－3；解②得x＝0.
所以点P的坐标为－3或0.
母题探究：1.若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
[解] 由题意知|PA|＝|PB|＝2，
即解得x＝1.
此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点．
2．在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由．
[解] 不存在这样的点P(x)．
因为d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使点P在线段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，则d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，这是不可能的．
[规律方法] 数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量，，中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用AC＝AB＋BC求解.
(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用AB＝xB－xA求解.
(3)已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|求解.
提醒：向量的长度及数量的区别,|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.
1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( )
A．C(－3)和D(－4)
B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3)
D．C(－4)和D(－3)
A [由数轴上点的坐标可知A正确．]
2．下列说法正确的是( )
A．点M(x)位于点N(2x)的左侧
B．数轴上等长的向量是相等的向量
C．向量A在数轴上的坐标AB＝－BA
D．数轴是有方向的直线
C [逐个判断可知．]
3．若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，
且AB＋BC＝2 018，则点C的坐标为________．
2 024 [设C点的坐标为x，则
－9－6＋x＋9＝2 018，解得x＝2 024.]
4．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．
11 [∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，
∴x＝11.]
5．在数轴上求一点P，使它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍．
[解] 设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5.所以P(3)或P(－5)．
课件34张PPT。第二章 平面解析几何初步2．1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式必修2原点度量单位正方向直线坐标系大小方向同向等长实数AC＝AB＋BCx2－x1|x2－x1|数轴上的点与实数间的关系 向量的相关概念辨析 数轴上两点的距离 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 数轴上的基本公式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )
①数轴上起点相同的向量方向相同；
②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；
③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；
④零向量没有方向．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若起点不同，则终点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错．综上，正确的只有②.]
2．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( )
A．－4 B．4
C．－12 D．12
C [MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.]
3．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝( )
A．0 B．－2
C．10 D．－10
B [由题意知AD＝AB＋BC＋CD
＝－BA＋BC＋CD＝－6－2＋6＝－2，故选B.]
4．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由AB＝xB－xA，得－5－xA＝－8，解得xA＝3.]
5．对于数轴上任意三点A，B，O，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )
A．AB＝OB－OA
B．AO＋OB＋BA＝0
C．AB＝AO＋OB
D．AB＋AO＋BO＝0
D [由有向线段数量关系的运算知：AB＝OB－OA，AB＝AO＋OB，AO＋OB＋BA＝AB＋BA＝0，所以A、B、C都恒成立，而对于D，AB＋AO＋BO＝OB－OA＋AO＋BO＝2AO，故选D.]
6．若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(－2)，且AB＋CB＝0，则C点的坐标为________．
－9 [设C点的坐标为x，则－2－5＋(－2－x)＝0，
解得x＝－9.]
7．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．
－6或4 [|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，
解得x1＝－6或x1＝4.]
8．已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是________．
(0,2) [∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴09．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|，若关于x的不等式f(x)≥k有解，求k的最大值．
[解] |x－2|表示x与2的距离，|x－5|表示x与5的距离，
f(x)＝|x－2|－|x－5|表示x与两点2和5的距离之差．
当x≤2时，f(x)为－3；
当2当x≥5时，f(x)为3，
∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3.
要使不等式f(x)≥k有解，
则k≤3，∴kmax＝3.
10．已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.
(1)求向量、的数量；
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．
[解] (1)∵A与原点的距离为3，
∴A(3)或A(－3)．
当A(3)时，∵A、B距离为1，∴B(2)或B(4)，这时的数量为3，的数量为－1或1，
当A(－3)时，∵A、B距离为1，所以B(－4)或B(－2)，此时的数量为－3，的数量为－1或1.
(2)满足条件的所有点B到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.
[能力提升练]
1．三个不相等的实数a，b，c在数轴上分别对应点A，B，C，如果|a－b|＋|b－c|＝|a－c|，则点B在点( )
A．A，C的右边 B．A，C的左边
C．A，C之间 D．A或C上
C [①若点B在A，C右边，则b>a，b>c，则有|a－b|＋|b－c|＝b－a＋b－c＝2b－(a＋c)，不一定等于|a－c|；②若点B在A，C左边，则b2．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝－6，BC＝－2，CD＝6，则AD等于( )
A．0 B．－2
C．10 D．－10
C [由BA＝－6知AB＝6，∴AD＝AB＋BC＋CD＝10.]
3．数轴上任取不同的三个点P，Q，R，则下列各式中一定为0的值的是________．
①PQ＋PR；②PQ＋RQ；③PQ＋PR＋QR；④PQ＋QR＋RP.
④ [由向量加法公式可得．]
4．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式不成立的有________(填序号)．
①|－|＝||－||
②|＋|＝||＋||
③|－|＝||＋||
④|＋|＝|－|
3 [∵|－|＝|＋|＝||，
而|AB＋BC|＝AC，所以③正确．
其余均错．]
5．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝.问：在线段DC上是否存在点E，使＝？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] 设点C的坐标为x，点E的坐标为x′，
则＝＝，即x＝－5，
∴点C的坐标为－5.
又点E在线段DC上，∴＝＝＝，
即4x′＋20＝3－x′，解得x′＝－∈(－5,3)．
∴在线段DC上存在点E，使＝.
