2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
学习目标：1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式．(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法．(难点)3.体会坐标法在几何中的作用．(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用．(难点)
两点间距离公式及中点公式
(1)已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)＝|AB|＝ .
(2)已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝，y＝.
[基础自测]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关． ( )
(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序． ( )
[答案] (1)√ (2)√
2．如图所示，由A(－4，－2)，B(4，－2)，C(4,4)，是否能求出d(A，C)?
[答案] 能，d(A，C)＝＝10.
3.(1)如图所示，若A(－1,1)，C(3,1)连线的中点为M1(x，y), 则x，y满足什么条件？
(2)若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么？
[答案] (1)x＝1，y＝1 (2).
两点的距离公式的应用
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0)，B(a,0)，C(0, a)．求证：△ABC是等边三角形．
[解] 由两点的距离公式得
|AB|＝＝2|a|，
|BC|＝＝2|a|，
|CA|＝＝2|a|.
∴|AB|＝|BC|＝|CA|，
故△ABC是等边三角形．
[规律方法] 根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.
[跟踪训练]
1．本例若改为：已知A(－1，－1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断△ABC的形状．
[解] d(A，B)＝
＝＝＝2，
d(A，C)＝
＝＝＝2，
d(B，C)＝
＝＝＝2.
所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，
所以△ABC为等腰三角形．
中点公式的应用
已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C、D的坐标．
[思路探究] 先分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解．
[解] 设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：
得
设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得
得
故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)．
[规律方法]
1．本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的．
2．中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解．
[跟踪训练]
2．已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标．
[解] ∵平行四边形的对角线互相平分，
∴平行四边形对角线的中点坐标相同．
设C点坐标为C(x，y)，则
∴即C(3,3)．
坐标法的应用
[探究问题]
1．如何建立平面直角坐标系？
[提示] (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴．
2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？
[提示] 不影响．
在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
[思路探究] 几何证明问题?坐标法?借助代数运算证明
A [如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，
又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，
即－b＝c.所以|OB|＝|OC|.
又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形．]
母题探究：已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
[解] 如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝＝.
所以|AM|＝|BC|.
[规律方法] 建立直角坐标系的常见技巧
(1)对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化．
(2)在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.
1．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为( )
A． B．
C． D．
B [由中点坐标公式可以求得．]
2．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
D [＝5，解得a＝－2或4.]
3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为________．
等腰三角形 [由题意|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，显然△ABC为等腰三角形．]
4．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________．
(3.4,0) [设点M的坐标为(x,0)，
由题意知|x|＝，
即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，
故所求点M的坐标为(3.4,0)．]
5．已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标．
[解] 设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，
即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，
解得x＝－5，
所以对角线交点为P(－5,0)．
所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，
yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；
xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，
yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．
所以另外两顶点的坐标为C(－9，－3)，D(－8，－4)．
课件34张PPT。第二章 平面解析几何初步2．1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式必修2两点的距离公式的应用 中点公式的应用 坐标法的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 平面直角坐标系中的基本公式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于( )
A．5 B．－1 C．1 D．－5
D [易知x＝－3，y＝－2.∴x＋y＝－5.]
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
C [由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3，
|BC|＝＝3.
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.]
3．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝( )
A．2 B．4
C． D．
A [由题意知，设D(x，y)，∴
∴∴D(1,7)．
∴|CD|＝＝2，故选A.]
4．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为( )
A．4 B．
C． D．
D [由题意知点C是线段AB的中点，
则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝.]
5．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为( )
A．5 B．2
C．5 D．10
C [(－3,5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则|A′B|＝＝5.]
6．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
(2，－7)或(－3，－5) [设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则]
7．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
[设BC边的中点M的坐标为(x，y)，
则
即M的坐标为(6,0)，所以|AM|＝＝.]
8．点A(1，－2)关于原点对称的对称点到(3，m)的距离是2，则m的值是________．
0或4 [A的对称点A′(－1,2)
2＝
解得m＝0或4.]
9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
[解] 假设在x轴上能找到点P(x,0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，
即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，
化简得x2－5x＝0，解得x＝0或5.
所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0)，使∠APB为直角．
10．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
[证明] 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，所以|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
[能力提升练]
1．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
B [根据两点的距离公式，
|AB|＝＝4，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，∴△ABC为等腰三角形．]
2．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [若点C在x轴上，
设C(x,0)，由∠ACB＝90°，
得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.
若点C在y轴上，
设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，
综上，满足条件的点C有3个．故选C.]
3．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．
[|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝2＋，所以当a＝时， |AB|取得最小值．]
4．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
2 [|BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长
|AB|＝＝2.]
5．求函数y＝＋的最小值．
[解] 原函数化为y＝＋，设A(0,2)，B(1，－1)，P(x,0)，借助于几何图形(略)可知它表示x轴上的点P到两个定点A、B的距离的和，当A、P、B三点共线时，函数取得最小值．∴ymin＝|AB|＝.
