2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)
1．直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？
[提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．
2．直线的斜率及斜率公式
(1)斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
(3)斜率的几何意义
用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度．
3．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．
思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？
[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( )
(4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )
[提示] (1)× 除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．
(2)× 倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．
(3)√ 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.
(4)√ 斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．
2．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．以上都不对
C [根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.]
3．直线l过点M(－，)，N(－，)，则l的斜率为( )
A． B．1 C． D．
B [根据题意，l的斜率为＝1.]
直线的倾斜角
已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？
[思路探究] ―→―→―→
[解] 由题意画出如下草图
由图可知：
当α为钝角时，倾斜角为α－90°，
当α为锐角时，倾斜角为α＋90°，
当α为直角时，倾斜角为0°.
综上，直线l转动前的倾斜角为
[规律方法]
1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
[跟踪训练]
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
D [根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，
不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]
直线的斜率
已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
[思路探究] (1)利用k＝及k＝tan α求解；
(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．
[解] (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
又∵tan 0°＝0，
∴AB的倾斜角为0°.
tan 60°＝，
∴BC的倾斜角为60°.
tan 30°＝，
∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
[规律方法]
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．
[跟踪训练]
2．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
斜率公式的应用
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？
[提示] 能．因为A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，
所以kAB＝＝2，kBC＝＝2，
所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，
所以A，B，C这三点在同一条直线上．
已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
[思路探究] 求直线的斜率?直线的斜率公式．
[解] (1)kMN＝＝1，解得m＝.
(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.
母题探究：1.本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．
[解] 由题意知
，解得1＜m＜2.
2．若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”，其他条件不变，结果如何？
[解] (1)由题意知＝1，解得m＝2.
(2)由题意知m＋1＝3m，得m＝.
[规律方法] 直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在.
(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算.
1．斜率不存在的直线一定是( )
A．过原点的直线 B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线 D．垂直于坐标轴的直线
B [只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－ B． C．－1 D．1
C [kAB＝＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1.]
3．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,2)，则光线BC所在直线的倾斜角为____．
60° [A(－2，)关于x轴的对称点为A′(－2，－)，
由物理知识知kBC＝kA′C＝＝，
所以所求倾斜角为60°.]
4．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
k1所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k15．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
[解] 由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，
解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
课件41张PPT。第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率必修2某条直线解这条直线的方程这个方程的直线正切tan α倾斜程度正方向0°0°≤α<180°定点倾斜角直线的倾斜角 直线的斜率 斜率公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 直线方程的概念与直线的斜率
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．下列说法正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
D [选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．]
2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
C [由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.]
3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1 B．5 C．－1 D．－5
D [由斜率公式可得：＝tan 135°，
∴＝－1，∴y＝－5.∴选D.]
4．若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
C [直线l可能有两种情形，如图所示，
故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.]
5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．0 B．1
C． D．2
D [如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.]
6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．
45° [由题意知，b≠a，
所以k＝＝1，
故倾斜角为45°.]
7．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．
2 [∵A、B、C三点在同一直线上，
∴kAB＝kBC，
∴＝，
∴m＝2.]
8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
0 [如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.
]
9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
[解] (1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴kPA＝＝.
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan 60°＝，解得a＝1－.
∴点P的坐标为.
(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
10．已知A(2,4)，B(3,3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，求的取值范围．
[解] 设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1,1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1,3]．
[能力提升练]
1．斜率为1的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为( )
A．5,0 B．4,1
C．5,1 D．5，－1
C [由题意，得即
解得a＝5，b＝1.]
2．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．
C．∪(1，) D．(1，)
C [∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C.]
3．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率的值为________．
－1 [设直线l2的倾斜角为α2，则由题意知：
180°－α2＋15°＝60°，
α2＝135°，
k2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.]
4．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
[∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.]
5．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
[解] ＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，
设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB.
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围是.
