2.2.2 直线方程的几种形式
学习目标：1.会求直线的点斜式，斜截式，两点式和一般式的方程．(重点)2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3.灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)
直线方程的几种形式
形式
条件
方程
应用范围
点斜式
直线l上一点P(x0，y0)及斜率k
y－y0＝k(x－x0)
直线l的斜率k存在
斜截式
直线l的斜率k及在y轴上的截距b
y＝kx＋b
两点式
直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
直线l不与坐标轴平行或重合
截距式
直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b
＋＝1
直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点
一般式
二元一次方程系数A、B、C的值
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面内任何一条直线
思考：直线的点斜式、斜截式、两点式，截距式方程均能化为一般式方程吗？
[提示] 是．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)． ( )
(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3. ( )
(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． ( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( )
[提示] (1)√ 由点斜式方程的形式知正确．
(2)√ 由斜截式方程的形式知正确．
(3)× 两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．
(4)√
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
B [由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.]
3．根据下列条件，分别写出直线的一般式方程．
(1)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7；
(2)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(3)过点P(4,2)，且与y轴平行．
[解] (1)由条件知直线过点(－7,0)，斜率k＝，
∴所求直线方程为y－0＝[x－(－7)]，∴所求直线的一般式方程为x－2y＋7＝0.
(2)由直线的点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)，
整理得所求直线的一般式方程为3x＋y＋9＝0.
(3)直线过点P(4,2)，且与y轴平行，故斜率不存在，所以直线方程为x＝4，一般式方程为x－4＝0.
求直线的点斜式方程
写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．
[思路探究] 先求出直线的斜率，然后由点斜式写方程．
[解] (1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.
又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，
直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，
即y＋1＝0.
(4)由题意可知直线的斜率不存在，
所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
[规律方法]
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
[跟踪训练]
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
[解] (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，
即y＋4＝0.
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率
kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，
∴直线的点斜式方程为
y－3＝－(x＋2)．
求直线的斜截式方程
根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等．
[思路探究] ―→―→
[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)设直线在两坐标轴上的截距为a，
当a＝0时，直线的斜截式方程为y＝x.
当a≠0时，设直线的斜截式方程为
＋＝1，代入点(3,4)得a＝7，
此时方程为y＝－x＋7，
故所求直线方程为y＝x或y＝－x＋7.
[规律方法]
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
[跟踪训练]
2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；
(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．
[解] (1)易知k＝－1，b＝－2，
故直线的斜截式方程为y＝－x－2.
(2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4.
(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．
直线的两点式方程
在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[思路探究] (1)由两点式直接求BC所在直线的方程；
(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．
[解] (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得＝，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
[规律方法]
1．由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
2．求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
[跟踪训练]
3．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
[解] 设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，
∴l：3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
直线截距式方程的应用
[探究问题]
1．已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程？
[提示] 能．直线l的截距式方程为＋＝1.
2．直线的截距式方程能否与其他形式相互转化？
[提示] 能．
直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．
[思路探究] 直线在坐标轴上的截距?直线的截距式方程．
[解] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程．
设直线l的方程为＋＝1，
则a＋b＝12. ①
又直线l过点(－3,4)，
所以＋＝1. ②
由①②解得或
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
母题探究：1.将本例中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”，求直线l的方程．
[解] 设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
(1)当a≠0，b≠0时，
设l的方程为＋＝1，
因为点(－3,4)在直线上，所以＋＝1.
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0；
若a＝－b，则a＝－7，b＝7，直线方程为x－y＋7＝0.
(2)当a＝b＝0时，直线过原点，且过(－3,4)，所以直线方程为4x＋3y＝0.
综上所述，所求直线方程为：
x＋y－1＝0 或x－y＋7＝0或4x＋3y＝0.
2．本例中的条件不变，求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积？
[解] 由典例解析知直线l的方程为x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
当直线l的方程为x＋3y－9＝0时，直线在两坐标轴上的截距分别为9,3，所以与坐标轴围成的三角形的面积为×9×3＝.
当直线l的方程为4x－y＋16＝0时，直线在两坐标轴上的截距分别为－4,16，所以与坐标轴围成的三角形的面积为×|－4|×16＝32.
综上所述，直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为或32.
[规律方法] 用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)优点：①由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.
②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.
(2)注意事项：当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C [∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
B [∵直线经过一、三、四象限，
由图知，k>0，b<0.
]
3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________；
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
(1)x＝2 (2)－2 [(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.]
4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为___________；截距式方程为______；斜截式方程为__________；一般式方程为__________．
y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
[∵倾斜角为60°
∴k＝tan 60°＝
由斜截式方程得y＝x－4
将上式变形可分别得到点斜式、截距式、一般式方程．]
5．求过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解] 当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
课件53张PPT。第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式必修2y－y0＝k(x－x0)存在y＝kx＋b坐标轴原点Ax＋By＋C＝0坐标轴求直线的点斜式方程 求直线的斜截式方程 直线的两点式方程 直线截距式方程的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 直线方程的几种形式
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
B [当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.]
2．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m值为( )
A． B．－6
C．－ D．6
B [将(3,0)代入得(m＋2)3＝2m，
解得m＝－6.]
3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
D [直线经过第一、二、三象限，
则由y＝－ x－可知，
?选D.]
4．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
A [化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．]
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )
A．1 B．2
C．－ D．2或－
D [当2m2＋m－3≠0时，在x轴上的截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－.]
6．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
(3,2) [将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．]
7．已知直线l过点P(2,1)且倾斜角为135°，则l的点斜式方程为________．
y－1＝－(x－2) [由题意知直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以l的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]
8．已知光线经过点A(4,6)，经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________．
(0,6) [点A(4,6)关于x轴的对称点A1(4，－6)，则直线A1B即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x＋y－6＝0，令x＝0，得y＝6，所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6)．]
9．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由解得m＝2，
若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
(2)由－＝1，解得m＝0.
10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
[解] 法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为
x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
[能力提升练]
1．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
C [令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，
∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，
由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，即x＋y－1＝0.]
2.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b>0，d<0，aB．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c
D．b<0，d>0，aC [由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0且k1>k2，∴a<0，c<0且a>c.
又l1的纵截距－<0，l2的纵截距－>0，
∴b<0，d>0，故选C.]
3．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
3 [直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.]
4．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________．
[方程可化为y＝(3－2t)x－6，
∵直线不经过第一象限，
∴3－2t≤0，得t≥.]
5．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解] 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12. ①
又∵直线过点P，
∴＋＝1. ②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12， ③
由题意得：＋＝1， ④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
