2.2.3 两条直线的位置关系
学习目标：1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点)
1．两条直线相交、平行与重合的条件
(1)代数方法判断
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组
的解进行判断(如下表所示)
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平行
无交点
A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或＝≠(A2B2C2≠0)
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)
有无数个解
重合
无数个交点
A1＝λA2，B1＝λB2，
C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)
(2)几何方法判断
若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交?k1≠k2；
②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
2．两条直线垂直
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． ( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2. ( )
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． ( )
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． ( )
[提示] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
D [设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直．]
3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
0 [∵l1∥l2，且k2＝＝－1，
∴k1＝＝－1，
∴m＝0.]
两条直线平行的判定
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
[思路点拨] 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行．
[解] (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，
又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
[规律方法]
1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．
[跟踪训练]
1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值．
[解] 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝，
kMN＝＝.
因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，
即＝，解得m＝0或m＝1.
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．
综上，m的值为0或1.
两条直线垂直的判定
(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
[思路探究] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；
(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．
[解] (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得
k1＝＝，k2＝＝.
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝0.
综上所述，a的值为0或5.
[规律方法] 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.)
[跟踪训练]
2．(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；
(2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值．
[解] (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2.
(2)①当两直线斜率都存在，即m≠－且m≠1时，有k1＝，k2＝.
∵两直线互相垂直，∴×＝－1.∴m＝－1.
②当m＝1时，k1＝0，k2不存在，此时亦有两直线垂直．
当2m＝－3，m＝－时，k1不存在，k2＝＝＝－，l1与l2不垂直．
综上可知，实数m＝±1.
直线平行与垂直的综合应用
[探究问题]
1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？
[提示] 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
2．若已知直角三角形ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？
[提示] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．
[思路探究] 利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．
[解] 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
母题探究：1.将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”
[解] 由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝
，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”
[解] 因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，
设R(x，y)，则由中点坐标公式知
解得所以R点的坐标是(－2t,2)．
[规律方法]
1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2．判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况.
1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3 B．3
C．－ D．
B [因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.]
2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．以上都不正确
A [过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]
3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为________．
±2 [由题意得m2＋－4＝tan 60°，解得m＝±2.]
4．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.
－1 7 [∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，
∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.]
5．已知四点A(2,2＋2)，B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．(说明理由)
[解] ∵kAB＝＝，
kBC＝＝－，
kAD＝＝－，
kCD＝＝，
∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.
∴AB∥CD且BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵kAB·kBC＝－1，
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形．
课件47张PPT。第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.3 两条直线的位置关系必修2平行无交点相交有一个交点无数个交点两条直线平行的判定 两条直线垂直的判定 直线平行与垂直的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 两条直线的位置关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)
C [由方程组得故选C.]
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝( )
A．－2 B．－
C．2 D．
B [由方程组解得代入x＋ky＝0，得k＝－.]
3．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是( )
A．0或3 B．－1或3
C．0或－1或3 D．0或－1
D [两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．]
4．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝?，则a的值为( )
A．a＝4 B．a＝－2
C．a＝4或a＝－2 D．a＝－4或a＝2
C [集合A表示直线y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1上的点，但除去点(1,3)，集合B表示直线4x＋ay－16＝0上的点，当A∩B＝?时，直线y＝2x＋1与4x＋ay－16＝0平行或直线4x＋ay－16＝0过点(1,3)，
∴－＝2或4＋3a－16＝0，∴a＝－2或a＝4，故选C.]
5．点(－2,3)关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为( )
A．(2，－1) B．(3,0)
C．(3，－1) D．(2,0)
A [设对称点为(x，y)，∴＝－1，即x＋y－1＝0①
又∵＝＋1，
∴y＋3＝x，②
解①②得，x＝2，y＝－1，故选A.]
6．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．
3 [显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，因为两条直线平行，所以－＝，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3.]
7．已知定点M(0,2)、N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)，若点M、N到直线l的距离相等，则实数k的值是________．
1或 [直线l的方程为kx－y－2k＋2＝0，
即y－2＝k(x－2)，恒过定点(2,2)．
又点M、N到直线l的距离相等，∴直线MN与直线l平行或MN的中点在直线l上，即k＝＝1或k·－－2k＋2＝0，k＝.
∴k＝1或k＝.]
8．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________.
0 [由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，
∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0.]
9．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD.
[解] 设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kAB·kCD＝－1，即3×＝－1.①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝.②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．
10．(1)求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程；
(2)求过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
[解] (1)设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－，由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，∴所求直线方程为2x＋3y－1＝0.
(2)解方程组得
即已知的两条直线的交点坐标为.
设所求直线方程为－2x－3y＋C＝0，
将点代入方程得，C＝，
故所求直线方程为－2x－3y＋＝0，
即14x＋21y－15＝0.
[能力提升练]
1．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
D [∵直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.]
2．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是( )
A．19 B．
C．5 D．4
B [由题意知AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即×＝－1，解得y＝，故选B.]
3．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
x－2y＋7＝0 [由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，
将点A(－1,3)代入，可得m＝7，
所以所求直线的方程为x－2y＋7＝0.]
4．过点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点，且与x＋2y－3＝0平行的直线方程是________．
x＋2y＋6＝0 [设对称点坐标是(a，b)，
则
解得a＝－4，b＝－1.
即对称点坐标为(－4，－1)．
设与x＋2y－3＝0平行的直线为x＋2y＋C＝0.
将(－4，－1)代入方程－4＋2×(－1)＋C＝0得C＝6
所求方程为x＋2y＋6＝0.]
5．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．
[解] 设A关于∠B的平分线的对称点为A′(x0，y0)，
则
解得即A′(1,7)．
设B的坐标为(4a－10，a)，所以AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，
所以6×＋10×－59＝0，
所以a＝5，
即B(10,5)．由直线的两点式方程可得直线BC的方程为2x＋9y－65＝0.
