2.2.4 点到直线的距离
学习目标：1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点)2.会求两条平行直线的距离．(重点)3.点到直线的距离公式的推导．(难点)
1．点到直线的距离
(1)概念
过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2．两平行线间的距离公式
(1)概念
夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)求法
两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用． ( )
(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b. ( )
(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为. ( )
[提示] (1)√
(2)× 应是d＝|y0－b|.
(3)√
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是( )
A． B．
C．2 D．
D [由点到直线的距离公式得
d＝＝.]
3．两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A．3 B．7
C． D．
C [直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0.
故两直线平行，且两直线间的距离为：
d＝＝＝.]
点到直线的距离
求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程．
[解] 法一：由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1,1)，满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行．
当直线过线段AB的中点时，由于M与C点的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1；
当直线与AB平行时，其斜率为－，由点斜式可得所求直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
综上，所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0.
法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件有：
化简得：或
所以
或
故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
[规律方法] 解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程时，要注意考虑直线的斜率是否存在.
[跟踪训练]
1．求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得
d＝＝.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
两条平行线间的距离
直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．
[思路探究] 先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论．
[解] 当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．
当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得＝5，解得k＝.
此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
[规律方法] 求两平行线间距离一般有两种方法
1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
2．公式法：直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．
[跟踪训练]
2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
D [根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，
解得c＝0或c＝2.
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.]
距离公式的综合应用
[探究问题]
1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？
[提示] 如图，
显然有0
而|AB|＝
＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．
[提示] 由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．
[思路探究] 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．
[解] 如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
所以a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l
上，所以3×－－1＝0.即3a－b－6＝0②
解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
所以由解得
即直线l与AB′的交点坐标为(2,5)．
所以点P(2,5)为所求．
母题探究：在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？
[解] 如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为.
所以AC′所在直线的方程为
19x＋17y－93＝0，
AC′和l的交点坐标为.
故P点坐标为为所求．
[规律方法] 求最值问题的处理思路
(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.
(3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题.
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A． B．
C． D．
A [d＝＝.]
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为( )
A．3 B．2
C．1 D．
C [d＝＝1.]
3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A．a>7 B．a<－3
C．a>7或a<－3 D．a>7或－3C [由题意得>3，即a<－3或a>7，故选C.]
4．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
[解] ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
课件39张PPT。第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.4 点到直线的距离必修2垂足公垂线段点直线点到直线的距离 两条平行线间的距离 距离公式的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 点到直线的距离
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0) B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)
C [设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．]
2．已知点A(0,2)、B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A [由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0.
因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝.
设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
B [设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.]
4．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
C [由题意得＝1，即|a＋1|＝，
又a>0，∴a＝－1.]
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A． B．
C． D．
A [设P(x0，－x)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，
∴当x0＝时，dmin＝＝.]
6．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________．
x－y＋10＝0或x－y－10＝0 [因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.
所以b＝±10.
所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.]
7．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．
2 [|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.]
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为____．
[设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.]
9．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
[解] 由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.
设l的方程为7x＋8y＋c＝0，
则2·＝，
解得c＝21或c＝5.
∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
[解] ∵由解得
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为＝.
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝.
∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.
∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
[能力提升练]
1．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，
d2＝＝2，两式联立，
解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.
故所求直线共有两条．]
2．若动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．3 D．4
A [根据已知条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝3.]
3．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
①⑤ [两平行线间的距离为d＝＝，由题意知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.]
4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________．
[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，
则|PQ|＝，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即
＝，
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离
d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.]
5．如图所示，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
[解] 设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.但b>1，所以b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
