2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3.掌握点与圆的位置关系．(重点)4.圆的标准方程的求解．(难点)
1．圆的标准方程
(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
2．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d＞r
d＝r
d＜r
思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
[提示] 若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． ( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9. ( )
[提示] (1)√ 确定圆的几何要素就是圆心和半径．
(2)× 当m＝0时，不表示圆．
(3)× 圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3.
2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)( )
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
C [圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝＝＜r，∴点P在圆内．]
3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
A [圆心为(0,0)，半径r＝4，
P到圆心的距离d＝＞4，
所以P在圆外．]
直接法求圆的标准方程
(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
[思路探究] (1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．
(1)A (2)A [(1)设圆心坐标为(0，b)，
则由题意知＝1，解得b＝2.
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]
[规律方法] 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
[跟踪训练]
1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16
C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16
D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25
C [因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.]
待定系数法求圆的标准方程
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
[思路探究] 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．
[解] 法一：设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝
，
解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知
解得
故所求圆的标准方程为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，
所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的方程为：
y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由得
即圆心为(－1，－2)，圆的半径为
r＝＝，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
[规律方法]
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．
2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．
[跟踪训练]
2．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
[解] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－(x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4,0)，
所以r＝|CA|＝＝.
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
与圆有关的最值问题
[探究问题]
1．若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.
2．若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
[提示] P(x，y)是圆C上的任意一点，
而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
[思路探究] 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．
[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，
解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
母题探究：1.在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
[解] 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
[规律方法] 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
A [∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
A [设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，b＝2，
故方程为x2＋(y－2)2＝1.]
3．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________．
x－y＋3＝0 [圆C的圆心为(－1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.]
4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
x2＋(y－1)2＝1 [由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]
5．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．
[解] (1)∵点M(6,9)在圆上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，
又a＞0，∴a＝.
(2)∵|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
|PN|＞|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴3＜a＜.
课件40张PPT。第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程必修2d＞rd＝rd＜r直接法求圆的标准方程 待定系数法求圆的标准方程 与圆有关的最值问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 圆的标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
D [由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.]
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0
B [由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.]
3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1 B．4 C．5 D．6
B [圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.]
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．]
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C [直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.]
6．已知A(－1,4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．
(x－2)2＋y2＝25 [由题意知圆心坐标为，，即(2,0)，半径为＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.]
7．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
a>或a<－ [∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－.]
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
1＋ [圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.]
9．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程．
[解] 法一：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵A，B∈圆C，C∈l，
∴解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，
∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，
∴圆心为C(a,5－2a)．
由圆的定义得|AC|＝|BC|，
即
＝.
解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
[解] 圆＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，
∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∵解得
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋＝.
[能力提升练]
1．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于( )
A．3 B．2
C．5 D．1
A [由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，所以a＋b－3＝0，即a＋b＝3，故选A.]
2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－)
C．，4－ D．(＋2)，(－2)
B [点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，选B.]
3．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋y2＝10 [设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0)，
则
解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.]
4．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
5＋ [由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.]
5．设P(0,0)，Q(5,0)，R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆的方程．
[解] |PQ|＝5，|PR|＝12，|QR|＝13，
∴|PQ|2＋|PR|2＝|QR|2，
∴△PQR为直角三角形，且∠P为直角，
∴内切圆的半径r1＝＝2，
圆心为C1(2，－2)．
∴内切圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
∵外接圆的半径r2＝，
圆心为C2，
∴外接圆的方程为＋(y＋6)2＝.
