2.3.2 圆的一般方程
学习目标：1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3.灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＞0
表示以为圆心，
以为半径的圆
思考：所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示] 不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C，B＝0且D2＋E2－4F＞0时才表示圆．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． ( )
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． ( )
(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． ( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. ( )
[提示] (1)√ 圆的方程都能写成一个二元二次方程．
(2)√ 圆的一般方程和标准方程是可以互化的．
(3)× 当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2
(4)√ 因为点M(x0，y0)在圆外，所以＋
>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
2．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5 B．(2,0)，
C．(0,2)， D．(2,2)，5
B [x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，
∴圆心为(2,0)，半径r＝.]
3．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________．
x2＋y2－3x－4y＝0 [该圆的圆心为，半径为，
故其标准方程为＋(y－2)2＝.
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.]
圆的一般方程的概念辨析
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[思路探究] (1)根据表示圆的条件求m的取值范围；
(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．
[解] (1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
[规律方法] 解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.
[跟踪训练]
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
[解] (1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
求圆的一般方程
圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
[思路探究] 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
[解] 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆过A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5， ①
3D＋4E＋F＝－25. ②
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则
x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
即D2－4F＝36. ③
由 ①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，
或D＝－8，E＝－2，F＝7.
故所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
[规律方法] 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D、E、F.
[跟踪训练]
2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．
[解] 设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
求动点的轨迹方程
[探究问题]
1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示] 设M(x，y)，则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．
[提示] 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2)
[思路探究] 直角边垂直?斜率相乘等于－1?转化为方程?检验．
C [设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]
母题探究：1.过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________．
(x－4)2＋y2＝1 [设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，
化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1.]
2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
[解] 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
[规律方法] 求与圆有关的轨迹的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程.
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
D [圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D.]
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．
A [方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．]
3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
4 [以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.]
4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝9 [设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6
知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，
即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.]
5．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
[解] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得
解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
课件39张PPT。第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程
2.3.2 圆的一般方程必修2圆的一般方程的概念辨析 求圆的一般方程 求动点的轨迹方程 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九) 圆的一般方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
A [方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．]
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是( )
A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0
D [∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，
∴D＝E≠0.]
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是( )
A．π B．π
C．3π D．不存在
B [所给圆的半径为
r＝＝.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值，此时最大面积是π.]
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
C [把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2或a＝0.故选C.]
5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
C [线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
－2 [由题意可得圆C的圆心在直线
x－y＋2＝0上，将代入直线方程得
－1－＋2＝0，解得a＝－2.]
7．过点M(－1,1)，且与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0有相同圆心的圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝25 [圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则所求圆的圆心为(2，－3)．半径r＝＝5，方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.]
8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
＋＝ [设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得＋＝，即为点Q的轨迹方程．]
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[解] 圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[能力提升练]
1．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝|MP2|, 则△MP1P2面积的最大值是( )
A． B．2
C． D．2
B [设M(x，y)，由|MP1|＝|MP2|，
可得＝，
化简得(x－3)2＋y2＝8，
即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，
又S＝·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2.故选B.]
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．一个半圆 D．两个半圆
D [方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，
又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1，若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
∴方程表示两个半圆．]
3．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________.
－3 [设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得
又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，
代入上面的结果得m－2＋1＝－4，
∴m＝－3，符合m<1的条件．]
4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,0)，B(1,2)，C(4,1)，其外接圆的方程为________．
x2＋y2－5x－3y＋6＝0 [设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A，B，C坐标代入得解得
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－5x－3y＋6＝0.]
5．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
[解] (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组
即2a＋b＝2.
∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆.
