2.3.3 直线与圆的位置关系
学习目标：1.理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点) 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)
直线与圆的位置关系的判定
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
判定方法
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图形
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． ( )
(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )
[提示] (1)√ (2)√
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
B [圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．]
3．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．± C．± D．±
C [设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±.]
直线与圆位置关系的判定
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为(2,1)，半径r＝2.
圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
[规律方法] 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[跟踪训练]
1．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求：当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切；
(3)直线与圆有两个公共点．
[解] (1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0.
(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
所以d＝＝＝2，m＝±2，即m＝±2时，直线l与圆相切．
(3)直线与圆有两公共点，d＜r，即＜2，所以－2＜m＜2时有两个公共点．
直线与圆相切的有关问题
过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
[思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．
[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
[规律方法] 过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．
[跟踪训练]
2．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
圆的弦长问题
[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
[思路探究] 弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，半径为r＝2，
点C到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所求弦长为l＝2
＝2＝.]
母题探究：1.圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则此圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝4 [圆心到直线的距离d＝＝，由于弦长距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.]
2．经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l方程．
[解] 圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心C(3,1)．所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．
又kCP＝＝2.所以kl＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0.
[规律方法] 直线与圆相交时弦长的两种求法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，则|AB|＝2.
图1 图2
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
D [圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝＜r.]
2．已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
B [由题意知，＝1，∴a2＋b2＝c2，因此三角形为直角三角形．]
3．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线段的长是________．
1 [点P到原点O的距离为|PO|＝，
∵r＝3，且P在圆外，∴切线段长为＝1.]
4．过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是
________.
x－2y＋5＝0 [点P(－1,2)是圆x2＋y2＝5上的点，
圆心为C(0,0)，
则kPC＝＝－2，
所以k＝，y－2＝(x＋1)．故所求切线方程是x－2y＋5＝0.]
5．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，求直线l的方程．
[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．
又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
解得k＝1或.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.
课件40张PPT。第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程
2.3.3 直线与圆的位置关系必修2210＜＝＞＞＝＜直线与圆位置关系的判定 直线与圆相切的有关问题 圆的弦长问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 直线与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]
2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
B [结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.]
3．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
D [法一：由3x＋4y＝b得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12.]
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
D [由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4.]
5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝( )
A．10－2 B．5－
C．10－3 D．5－
A [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＝3<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝2＝2.
∴m－n＝10－2.]
6．若直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△ECF的面积为________．
2 [圆心C(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝，又知圆C的半径长为3，∴|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝·|EF|·d＝×4×＝2.]
7．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0只有一个公共点，则实数m的值为________．
0或10 [将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.
若直线与圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
∴m＝0或m＝10.]
8．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．
3 [圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝.
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．]
9．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．
[解] 因为tan 135°＝－1，
所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
圆心到直线的距离d＝＝＜r＝2，所以直线与圆相交．
弦长为2＝2＝2.
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋2＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
[能力提升练]
1．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则ab的值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
C [圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，所以＝，
整理得a2－12a＋5b2－9＝0，
又直线过P(－1,2)，
代入得2b－a－3＝0，
两式联立，得a＝1，b＝2，所以ab＝2.]
2．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＝ B．－1＜b≤1或b＝－
C．－1≤b≤1 D．以上都不正确
B [如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
∵l1与半圆相切，∴b＝－；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－.]
3．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
4± [圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以＋12＝22，
解得a＝4±.]
4．直线l：2mx－y－8m－3＝0被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0截得的最短弦长为________．
2 [将直线l变形得：2m(x－4)＝y＋3，即直线l恒过定点P(4，－3)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.
所以|AB|＝2＝2.
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.]
5．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解] (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10， ①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10， ②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝， ③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
