2.3.4 圆与圆的位置关系
学习目标：1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点)2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(重点)3.掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(难点)
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|
＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0≤d＜
|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( )
[提示] (1)× 还可能是内切．
(2)× 还需要大于两半径之差的绝对值．
(3)× 在相交的情况才是．
2．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是( )
A． B．5 C． D．2
C [∵两圆外切，∴圆心距d＝＝2r，解得r＝.]
3．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
B [两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.
所以两圆的圆心距d＝＝5.
又4－3<5<3＋4，故两圆相交．]
圆与圆位置关系的判定
当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
[思路探究] →→
→
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)．
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．
当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5或|－1|＞5，
即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．
[规律方法]
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
[跟踪训练]
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解] 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0
两圆相交有关问题
求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．
[思路探究] ―→
―→―→
[解] 设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标是方程组，的解，
两式相减得x＋y－1＝0.
因为A，B两点的坐标满足 x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，
所以直线AB被圆C3截得弦长为2×＝.
[规律方法]
1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
[跟踪训练]
2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
[解] 由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，
∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，
∴圆心C1到直线AB的距离d
＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝.
∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为.
圆与圆的相切问题
[探究问题]
1．圆与圆相切是什么意思？
[提示] 两圆相切指得是内切和外切两种情况．
2．两圆相切可用什么方法求解？
[提示] (1)几何法，利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得
d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．
(2)代数法，将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[思路探究] 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．
[解] 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1. ①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝. ②
＝r. ③
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
母题探究：1.将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
[解] 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为 (a,0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以
解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
2．将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．”
[解] 圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4,4)，半径为r2＝.因为两圆相外切，
所以＝1＋，解得：m＝16.
[规律方法] 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
B [圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝＜r1＋r2＝3，即两圆相交．]
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
A [所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由＝，得x＋y－1＝0.]
3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________．
2或－5 [C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，
由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.]
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，
即≤2，解得0≤k≤.∴kmax＝.
]
5．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程x2＋y2＝16(y≥0)．
将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)得：
y＝＝＞2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．
将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝，
所以货车要正常驶入该隧道，最大高度为 m.
课件43张PPT。第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程
2.3.4 圆与圆的位置关系必修2外离外切相交内切内含相交内切或外切外离或内含圆与圆位置关系的判定 两圆相交有关问题 圆与圆的相切问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 圆与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
B [由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．]
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
B [已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.]
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
C [圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.]
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
C [∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.
∴a＋b＝10，ab＝17，
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.
∴|C1C2|＝＝＝8.]
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0
B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0
D．3x－2y－1＝0
B [弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.]
6．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条．
两 [圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心C1(－2,2)，圆心C2(2,5)，r1＝3，r2＝4.
则|C1C2|＝＝5<3＋4，
故r2－r1<|C1C2|两圆相交，则有两条公切线．]
7．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
x2＋y2－x＋y＋2＝0 [设所求圆的方程为 (x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.]
8．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
3 [由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.]
9．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．有相距100 km的A，B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍．问怎样确定A，B两批发市场的售货区域对当地居民有利？
[解] 建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直角坐标系(图略)，则A(－50,0)，B(50,0)．
设P(x，y)，由2|PA|＝|PB|，得x2＋y2＋x＋2 500＝0，
所以在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0内到A地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0外到B地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0上到A，B两地购物一样合算．
[能力提升练]
1．已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
B [设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，两圆的圆心距离dO O′＝＝.显然有|r－|＜＜＋r.所以两圆相交．]
2．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．＋＝
D．＋＝
B [两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.]
3．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y－2)2＝2 [曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设圆心C2的坐标为(x0，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.]
4．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
4 [连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，
|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5，
∴|AC|＝＝2，
∴|AB|＝4.]
5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程．
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．
[解] (1)由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2
r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)
故圆O2的方程及(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0. ①
作O1H⊥AB(略)，则AH＝AB＝，
O1H＝，由圆心(0，－1)到直线①的距离得＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为：
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
