2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
学习目标：1.了解空间直角坐标系的建系方式．(重点)2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点)4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(难点)
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系
定义
以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面
画法
在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
(2)空间中一点的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的x坐标，y叫做点M的y坐标，z叫做点M的z坐标．
2．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝.
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)． ( )
(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)． ( )
(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)． ( )
(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)． ( )
[提示] (1)× x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.
(2)√
(3)√
(4)√
2．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________．
－7或13 [|AB|＝
＝，
∴(3－m)2＝100,3－m＝±10.
∴m＝－7或13.]
3．在空间直角坐标系中，点P(5,7,9)与Q(5，－7，－9)两点的位置关系是________．
[答案] 关于x轴对称
空间中点的坐标的确定
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．
[思路探究] 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝、FN＝，则F点坐标为.
点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为.
由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝、CK＝.
∴DK＝.故H点坐标为.
[规律方法]
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
[跟踪训练]
1．在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标．
[解] 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，
根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝×2＝，
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为：
A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).
求空间对称点的坐标
在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
[思路探究] 对照空间点的对称规律直接写出各点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
[规律方法] 任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z).
求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.
[跟踪训练]
2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.
[解] 由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).
空间两点间的距离
[探究问题]
1．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)，请求出P、Q之间的距离．
[提示] |PQ|＝＝.
2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．
[提示] 设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，
得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，
∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．
在空间直角坐标系中，已知A(2,0,3)和B(－3,0，－2)，试问在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|.
[思路探究] 设点的坐标，代入距离公式，求得．
[解] 假设在y轴上存在点M，满足
|MA|＝|MB|.
因为M在y轴上，可设M(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，
可得
＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
母题探究：1.本例中将点A的坐标改成“A(3,1,1)”，其余条件不变，请再探讨结论．
[解] 假设在y轴上存在点M，满足
|MA|＝|MB|.
因为M在y轴上，可设M(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，
可得＝
，
解得y＝－1，所以y轴上存在点M(0，－1,0)满足关系|MA|＝|MB|.
2．将本例改为“在空间直角坐标系中，已知A(2,0,3)，B(－3,0，－2)，C(1,2，－1)”，试判断三角形ABC的形状？
[解] 由空间两点间的距离公式知：
|AB|＝
＝5，
|AC|＝＝5，
|BC|＝＝5，
所以|AC|＝|BC|，|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以三角形ABC为等腰直角三角形．
[规律方法] 解决空间两点间的距离的方法
(1)若两点坐标已知，直接代入空间两点间的距离公式求解．
(2)若两点坐标未知，则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系)，利用平面图形及空间图形的性质，结合坐标系表示出相关的坐标，最后代入空间两点间的距离公式求解.
1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1,0,1)，(－1,2,0)
B．(－1,0,0)，(－1,2,0)
C．(－1,0,0)，(－1,0,0)
D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
B [点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1,2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．]
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
A [点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]
3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．
(4,0，－1) [设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴线段AB的中点坐标为(4,0，－1)．]
4．设A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.
7或－5 [由|AB|＝
＝11，解得z＝7或－5.]
5．V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．
[解] 以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，
∴点V的坐标是(0,0,3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，
∴它们的竖坐标都是零．
又|AB|＝2，
∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0，3)．
课件41张PPT。第二章 平面解析几何初步2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式必修2垂直原点坐标轴坐标平面xOz135°右手xyzx坐标y坐标z坐标空间中点的坐标的确定 求空间对称点的坐标 空间两点间的距离 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二) 空间直角坐标系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
B [P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．]
2．点P到原点O的距离是( )
A． B．1
C． D．
B [|PO|＝＝1.]
3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
A [由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.]
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3 B．3
C．2 D．2
B [|AB|＝
＝
＝，
当a＝－1时，|AB|min＝＝3.]
5．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
B [由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝
＝a.]
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
0 [点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，
∴x＝1，y＝0，z＝－1，
∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.]
7．已知A点坐标为(1,1,1)，B点坐标为(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
(6,0,0) [设P点坐标为(x,0,0)，
则(x－1)2＋1＋1＝(x－3)2＋(0－3)2＋(0－3)2，解得x＝6.
故P点坐标为(6,0,0)．]
8．在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
6＋2 [S△AOC＝S△BOC＝S△AOB
＝×2×2＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2.]
9．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．
[解] |AB|＝＝7，
|BC|＝＝7，
|AC|＝＝7.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
10．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，且CM＝BN＝a.求a为何值时，MN的长最小．
[解] 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD，
所以AB，BC，BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.
因为CM＝BN＝a，
所以CH＝MH＝BG＝GN＝a，
所以以B为原点，以AB，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.
所以|MN|
＝
＝＝，
所以当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M，N恰好为AC，BF的中点．
[能力提升练]
1．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A． B． C． D．
A [设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.
∴＝.]
2．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
D [由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．]
3．在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C，则AB边上的中线CD的长是________．
[由题可知AB的中点D的坐标是，由距离公式可得|CD|
＝＝.]
4．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.
[由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)，可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝＝.]
5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．
[解] (1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0，4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，
由|PA|＝|AB|得＝.
所以m2＝15.
因为m∈[0,4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P(1,2，)，
使得△ABP为等边三角形．
(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|，又F(1,2,0)，
则
＝，
整理得＝.
所以n2＝4.
因为n∈[0,4]，所以n＝2.
故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．
