2.1 数 列
2.1.1 数 列
学习目标：1.理解数列的概念．(重点)2.掌握数列的通项公式及应用．(难点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点)
1．数列的概念及一般形式
思考1：数列的项与项数一样吗？
[提示] 不一样．
2．数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
思考2：数列一定有通项公式吗？
[提示] 不一定．
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
思考3：数列所对应的图象是连续的吗？
[提示] 不连续．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列． ( )
(2){an}与an是一样的，都表示数列． ( )
(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列． ( )
(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列． ( )
[提示] (1)× 因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列．
(2)× 因为{an}代表一个数列，而an只是这个数列中的第n项，故{an}与an是不一样的．
(3)× 因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列．
(4)× 两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列．
2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )
A．380 B．392 C．321 D．232
A [因为19×20＝380，
所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项．
应选A.]
3．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是an＝( )
A．(10n－1) B．
C．(10n－1) D．(10n－1)
B [1－＝0.9,1－＝0.99，…，
故原数列的通项公式为an＝.
应选B.]
4．观察下列数列的特点，填入适当的数：4,7,10，________，16，….
13 [根据所给数值可知通项为an＝3n＋1，∴a4＝13.]
5．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]
数列的概念及分类
已知下列数列：
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
[思路探究] 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．
①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]
[规律方法]
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
[跟踪训练]
1．给出下列数列：
(1)2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
(2)无穷多个构成数列， ， ， ，….
(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
(1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式
写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
[思路探究] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N＋)．
[规律方法]
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
[跟踪训练]
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
[解] (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
数列的通项公式的意义
[探究问题]
1．数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝，当n＝7时，a7＝＝，若为该数列中的一项，则＝，解得n＝8，所以是该数列中的第8项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？
试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
[思路探究] (1)将n＝10代入数列的通项公式即可．(2)由＝求得n(n∈N＋)是否有正整数解即可．
(3)求函数an＝的值域即可．
[解] 设f(n)＝
＝＝.
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝＝1－，
又n∈N＋，所以0<<1，所以0
即数列中的各项都在区间(0,1)内．
[规律方法]
1．由通项公式写出数列的某几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项．其方法是由通项公式等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
[跟踪训练]
3．已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前三项；
(2)判断数列{an}的单调性．
[解] (1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，
∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示为1,3,5,7，…
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
C [A错，数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B错，数的次序不同就是两个不同的数列；C正确，ak＝＝1＋；D错，an＝2n－2.]
2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
C [观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,2,0
A [当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
4 [令＝，解得n＝4或n＝－5(舍去)，所以是该数列的第4项．]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[解] (1)∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.∵－2?N＋，?N＋，
∴68不是该数列的项．
课件55张PPT。第二章 数 列2.1 数 列
2.1.1 数 列必修5每一个数 第一位 {an} 有限无限大于小于相等大于nan＝f(n)公式从小到大依次取值列表图象正整数集N＋ 数列的概念及分类 由数列的前几项求通项公式 数列的通项公式的意义 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 数 列
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
B [①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
C [由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.]
3．若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－cos nπ
C．an＝2sin2
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
D [将前4项代入选项检验可得D不符合．]
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
A [an＝＝1－
当n≥2时，an－an－1＝1－－(1－)
＝－＝>0，所以{an}是递增数列．]
5．观察数列2,5,10,17，x,37，…的特点，则x等于( )
A．24 B．25 C．26 D．27
C [将数列变形为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，…，于是可得已知数列的一个通项公式为an＝n2＋1(n∈N*)，当n＝5时，a5＝52＋1＝26，故x＝26.]
6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，….
[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.]
7．已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，
又a<0，∴a＝－1.
又a＋2m＝2，
∴m＝，
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．
2或6 [令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.]
9．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)，，，，，…；
(2)－1，，－，，－，，…；
(3)6,66,666,6666，….
[解] (1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为
an＝
(3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2，
(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由．
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0.
(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．
[解] (1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
解得n＝10或n＝－9(舍去)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
即当n＝6时，an＝0.
令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，
解得－5又n∈N*，
∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0.
(3)an＝30＋n－n2＝－(n－)2＋，
∵n∈N*，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30.
[能力提升练]
1．数列0.7,7.7,77.7,777.7，…的一个通项公式是an＝( )
A．(10n－1) B．(10n－1)
C．(10n－1) D．(10n－1)
D [代入n＝1检验，排除A、B、C.]
2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，3)
C．(－∞，2) D．(－∞，3]
B [an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．]
3．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个．
5n＋1 [各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键5n＋1个．]
4．正整数按下表的规律排列：
则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为________．(答案可写为乘积形式)
2 017×2 018(或4 070 306) [左起第一列从上而下是1,4,9,16,25，…，n2，…，所以上起第2 017行第一个数为2 0172，左起第2 018列即为从2 0172开始向后数第2 018个数，所以该数为2 0172＋2 017＝2 017×2 018.]
5．在数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项．
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内．
(3)区间内有无此数列的项？若有，有几项？
[解] (1)a7＝＝.
(2)证明：因为an＝＝1－，所以0(3)由<<，得又n∈N＋，所以n＝1，即在区间内有且只有一项a1.
