2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标：1.理解递推公式的含义．(重点)2.掌握递推公式的应用．(难点)3.会求数列中的最大(小)项．(易错点)
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
思考：由数列的递推公式能否求出数列的项？
[提示] 能，但是要逐项求．
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． ( )
(2)有些数列可能不存在最大项． ( )
(3)递推公式是表示数列的一种方法． ( )
(4)所有的数列都有递推公式． ( )
[提示] (1)√ 只需将项数n代入即可求得任意项．
(2)√ 对于无穷递增数列，是不存在最大项的．
(3)√ 递推公式也是给出数列的一种方法．
(4)× 不是所有的数列都有递推公式．例如 精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式．
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.
31 [因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.]
3．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n>1)，则a4＝________.
4 [依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.]
4．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝_____.
3 [因为a1＝－，an＋1＝1－，
所以a2＝1－＝1＋2＝3，
a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.]
由递推关系写数列的项
(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 017＝2，则a2 016＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝________.
(1)C (2)8 [(1)由anan＋1＝1－an＋1，
得an＋1＝，
又∵a2 017＝2，
∴a2 016＝－，故选C.
(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，
∴a5＝a4＋a3＝8.]
[规律方法] 由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
[跟踪训练]
1．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
[解] 法一：
∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9＝a10＝.
法二：设ak是数列{an}的最大项．
则
即
整理得
得9≤k≤10，所以k＝9或10，
即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.
[规律方法] 求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.,二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可.
[跟踪训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二：设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2,3.∴a2＝a3且最小．
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
数列的递推公式与通项公式的关系
[探究问题]
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示] 由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．
2．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？
[提示] 按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．
3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？
[提示] 由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，
a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，
所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1，(n∈N＋)．
设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求数列的通项公式．
[思路探究] 由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝an反复迭代；或将an＋1＝an变形为＝进行累乘；或将an＋1＝an变形式＝1，构造数列{nan}为常数列．
[解] 因为an＋1＝an.
法一：(归纳猜想法)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝…
猜想an＝.
法二：(迭代法)因为an＋1＝an，
所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，从而an＝.
法三：(累乘法)因为an＋1＝an，
所以＝，
则··…·＝··…·，
所以an＝.
法四：(转化法)因为＝，所以＝1，
故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝.
[规律方法] 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为
an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式.
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式.
[跟踪训练]
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解] a1＝2，a2＝a1＋3＝5，
a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，
a5＝a4＋3＝14，
猜想：an＝3n－1.
证明如下：由an＋1＝an＋3得
a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，
a4＝a3＋3，
…，
an＝an－1＋3.
将上面的(n－1)个式子相加，得
an－a1＝3(n－1)，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
1．已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝
C．an＝ D．an＝
C [a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.]
2．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，… B．1, ，2,2，…
C．，2, ，2，… D．0, ，2,2，…
B [由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．]
3．若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝______.
[由an＋1＝2an－1，得an＝(an＋1＋1)，
∴a7＝(a8＋1)＝，a6＝(a7＋1)＝.]
4．若数列中的最大项是第k项，则k＝________.
4 [由题意得
化简得
又因为k∈N＋，所以k＝4.]
5．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
[解] (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝.
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
课件49张PPT。第二章 数 列2.1 数 列
2.1.2 数列的递推公式(选学)必修5第1项(或前几项)递推an－1n数列由递推关系写数列的项 数列的最大(小)项的求法 数列的递推公式与通项公式的关系 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 数列的递推公式(选学)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于( )
A． B．
C．－ D．
C [由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.]
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
C [∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.]
3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A． B．
C．4 D．0
D [∵an＝－3n2＋15n－18＝－3＋，因为n∈N＋所以当n＝2或3时，an最大．a2＝a3＝0.]
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
A [an＋1－an＝ln(1＋)＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln ，a2－a1＝ln2.叠加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln 2＋a1＝ln＋2＝ln n＋2.]
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 017＝( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
A [由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，
…
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 017＝a1＝3.]
6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 018－a2 017＝________.
2 017 [由已知得a2 018－a2 017－2 017＝0，
∴a2 018－a2 017＝2 017.]
7．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N＋都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.则a3，a5分别等于________．
6,20 [由题意，令m＝2，n＝1则a3＋a1＝2a2＋2，所以a3＝6，令m＝3，n＝1则a5＋a1＝2a3＋2×4，所以a5＝20.]
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 [∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
9．已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．
[解] 法一：(叠加法)∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…an－an－1＝2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
法二：(迭代法) an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋(n－1)×2＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n－1，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.
10．已知数列{an}满足，a1＝1，an＋1＝pan＋qn，其中p，q均为正数，且a2＝3，a4＝13.
(1)求p，q的值；
(2)求an＋3与an的递推关系式．
[解] (1)由已知可得a2＝pa1＋q，
即p＋q＝3，
a4＝pa3＋3q＝p(pa2＋2q)＋3q＝p2a2＋2pq＋3q，
即3p2＋2pq＋3q＝13，
由得或
因为p，q均为正数，所以p＝1，q＝2.
(2)由(1)知an＋1＝an＋2n，
则an＋2＝an＋1＋2(n＋1)＝(an＋2n)＋2(n＋1)＝an＋4n＋2.
故an＋3＝an＋2＋2(n＋2)＝an＋6n＋6.
[能力提升练]
1．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
C [由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)
＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.]
2．由1,3,5，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是( )
A．9 B．17 C．33 D．65
C [∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33.]
3．已知数列{an}是递增数列，且对任意n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
(－3，＋∞) [n≥2，an－an－1＝2n＋λ－1，
因为{an}是递增数列，所以2n＋λ－1>0恒成立．
即λ>1－2n恒成立．所以λ>－3.]
4．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.
[由条件知＝，分别令n＝1,2,3…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.]
5．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解] 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
