2.2 等差数列
2.2.1 等差数列
第1课时 等差数列
学习目标：1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法．(重点)
1．等差数列的概念：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．
思考1：等差数列的定义用符号怎么表示？
[提示]an－an－1＝d(n≥2，d为常数)
2．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝.
思考2：任意两数都有等差中项吗？
[提示] 是
3．等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
思考3：等差数列的通项公式是什么函数模型？
[提示] d≠0时，一次函数，d＝0时，常值函数．
4．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( )
(2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列． ( )
(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列． ( )
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． ( )
[提示] (1)× 由等差数列的概念可知．
(2)× 因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.
(3)× 因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．
(4)√ 因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.
6－2n [∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．
46 [由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d
可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.]
4．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．
－3 [设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.]
等差数列的概念
若数列{an}的通项公式为an＝10＋ln 2n，试证明数列{an}为等差数列．
[证明] 因为an＝10＋ln 2n＝10＋nln 2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)ln 2]－(10＋nln 2)＝ln 2(n∈N＋)．
所以数列{an}为等差数列．
[规律方法] 等差数列的判定方法有以下三种
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)?{an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
[跟踪训练]
1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
C [∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.
∴{an}是公差为－3的等差数列．]
等差中项及其应用
(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
[解] (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3， ①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ②
将②代入①，得p＝1.
[规律方法] 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋).
[跟踪训练]
2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
[解] 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6，∴m和n的等差中项为＝3.
等差数列的通项公式及其应用
[探究问题]
1．某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？
[提示] 设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，
第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an，
则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．
所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，
a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，
a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，
a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，
…
an＝a1＋(n－1)d＝50n－50，
所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，
第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．
2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
[提示] 设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1 896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即an＝4n＋1 892，由an＝2 016，知4n＋1 892＝2 016，所以n＝31.
故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．
3．在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an?
[提示] 由an＝a1＋(n－1)d， ①
am＝a1＋(m－1)d， ②
两式相减可得：an－am＝(n－m)d，
则an＝am＋(n－m)d.
(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
[思路探究] 设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，
解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
[规律方法]
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
[跟踪训练]
3．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
[解] 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
A [∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．]
2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
B [∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，
故选B.]
3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是___．
3 [设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，
a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，
则a7＝3.]
4．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.
39 [∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.]
5．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
[解] 法一：因为{an}是等差数列，设公差为d，
由a15＝8，a60＝20，得
解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
法二：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．
设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第4项，
所以a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
法三：因为{an}是等差数列，设其公差为d.
因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
课件48张PPT。第二章 数 列2.2 等差数列
2.2.1 等差数列
第1课时 等差数列必修52同一个公差等差中项a1＋(n－1)d递增递减等差数列的概念 等差中项及其应用 等差数列的通项公式及其应用 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等差数列的性质
学习目标：1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． ( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． ( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2. ( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等． ( )
[提示] (1)× 如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)× 如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)√ 根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)√ 因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
33 [∵数列{an}是等差数列，
∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，
∴a14＝6＋9×3＝33.]
3．在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
180 [因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
15 [在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.]
灵活设元解等差数列
已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解] 法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得
解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
[规律方法]
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
[跟踪训练]
1．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解] (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则解得
∴这三个数为4,3,2.
等差数列的实际应用
甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息回答问题．
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴得a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴得b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．
(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．
[规律方法]
1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
[跟踪训练]
2．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
等差数列的性质
[探究问题]
1．数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5,7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？
[提示] 这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．
2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示] 由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n>1)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示] 在探究2的结论中令m＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；m＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
[思路探究] 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程如下：
解得或
∴d＝3或－3.
法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得
2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17.
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
[规律方法]
1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．
2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．
3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d，(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．
[跟踪训练]
3．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
35 [法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.]
1．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－an B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝
A [∵数列{an}是等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如数列{an}＝{n}，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A.]
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42 C．43 D．45
B [由即得d＝3.
所以a5＝2＋4×3＝14.
所以a4＋a5＋a6＝3a5＝42，故选B.]
3．在等差数列{an}中，a2＋a5＝9，a8＝6，则a2＝______.
4 [法一：由
∴a2＋a5＋a8＝3a5＝15，∴a5＝5，a2＝4.
法二：由
得
解之得a2＝4.]
4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
[由题意得该等差数列的公差d＝＝，
所以c－a＝2d＝.]
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式．
[解] 因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，所以a5＝3
法一：a3＋a7＝2a5＝6. ①
所以a3·a7＝－7. ②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
法二：a3·a7＝－7
∴(a5－2d)(a5＋2d)＝－7
∴(3－2d)(3＋2d)＝－7，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a5＋(n－5)d＝3＋2(n－5)＝2n－7
若d＝－2，an＝a5＋(n－5)d＝3－2(n－5)＝13－2n
∴an＝2n－7或an＝－2n＋13.
课件47张PPT。第二章 数 列2.2 等差数列
2.2.1 等差数列
第2课时 等差数列的性质必修5dap＋aq和等差dcd2dpd1＋qd2递增递减灵活设元解等差数列 等差数列的实际应用 等差数列的性质 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 等差数列
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
B [设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0.]
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2，则a51的值为( )
A．99 B．49
C．102 D．101
D [由题知{an}是首项为1，公差为2的等差数列．所以a51＝a1＋50d＝101.]
3．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是( )
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
B [由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．]
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项公式an＝( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
D [∵an＋1－an＝－1，∴数列{an}是等差数列，公差为－1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n.]
5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
B [a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.]
6.－1与＋1的等差中项是________．
[设等差中项为a，则有2a＝(－1)＋(＋1)＝2，所以a＝.]
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
8．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
13 [设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.]
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14.
(2)已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d.
[解] (1)由a9＝a1＋8d＝－2，
∵a1＝8.∴d＝－，∴a14＝a1＋13d＝8＋13×＝－.
(2)由(a4＋a8)－(a3＋a5)＝4d＝6.
∴d＝.
10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
[解] (1)数列是等差数列．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，
所以an＝.
[能力提升练]
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [设an＝－24＋(n－1)d，
由解得2．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
A [由＝＋，得－＝－，则数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]
3．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则此数列的通项公式为an＝________.
4n－3 [由题意，得a－1＋a＋7＝2(2a＋1)，所以a＝2，所以前三项分别为1,5,9，公差为4，故an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.]
4．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
5 [an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，
∴n＝5.]
5．在数列{an}中，已知a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)因为a1＝5，
所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列，
则，，成等差数列，
所以2×＝＋，
即＝＋.解得λ＝－1.
当λ＝－1时，－
＝[(an＋1－1)－2(an－1)]
＝(an＋1－2an＋1)
＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]
＝×2n＋1
＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．
课时分层作业(四) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
C [由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B．20
C．19.5 D．33
D [由题意知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝33.]
3．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由题知a1＋a5＝2a3＝10，所以a3＝5，又a4＝7，所以公差d＝a4－a3＝2.]
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
A [因为{an}为等差数列，所以a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，即a8＝8，因为d≠0，且am＝8，所以m＝8.]
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
D [a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.]
6．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
8 [由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.]
8．在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________.
[由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝＝5，故a50＋a20＋a80＝a50＝×5＝.]
9．等差数列{an}为递减数列，且a2＋a4＝16，a1a5＝28，求数列{an}的通项公式．
[解] a2＋a4＝a1＋a5＝16，所以
又a1>a5，故a1＝14，a5＝2，公差d＝－3，an＝14－3(n－1)＝17－3n.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升练]
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
C [根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.]
2．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 B．
C． D．
C [设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝|×－×|＝.]
3．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________.
3n2 [由题知－＝(n≥2)，所以{}是首项为，公差为的等差数列．所以＝＋(n－1)＝n，所以an＝3n2.]
4．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
n2 [由题设可得－＋1＝0，即－＝1，
所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.]
5．已知{an}是等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
(1)原数列的第12项是新数列的第几项？
(2)新数列的第29项是原数列的第几项？
[解] 因为数列{an}中，a1＝2，a2＝3，d＝a2－a1＝3－2＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
设新数列为{bn}，公差为d′，据题意知b1＝2，b5＝3，
则d′＝＝＝，
所以bn＝2＋(n－1)×＝＋.
(1)a12＝12＋1＝13，
令＋＝13，得n＝45，
故原数列的第12项是新数列的第45项．
(2)b29＝＋＝9，令n＋1＝9，得n＝8，
故新数列的第29项是原数列的第8项．
