2.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
思考：已知n，an，d能求Sn吗？
[提示] 能，a1＝an＋(1－n)d，然后代公式．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项一直到第n项的和． ( )
(2)等差数列的前n项和是二次函数模型． ( )
(3)等差数列的前n项和可能是一次函数模型． ( )
[提示] (1)√ (2)× (3)√
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________.
[因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1
＝
＝＝.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.
24 [由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.]
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列{an}的通项公式an＝________.
2n＋1 [当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)
＝2n＋1.
因为n＝1时，a1＝3，
也满足an＝2n＋1，
所以an＝2n＋1.]
等差数列Sn中基本量的计算
在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
[解] (1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴
解方程组得a1＝－8，d＝4.
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
[规律方法] a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
[跟踪训练]
1．在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
[解] (1)由题意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由
得
解方程组得，或
等差数列前n项和公式的实际应用
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
[规律方法] 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
[跟踪训练]
2．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
[解] (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去) .
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
等差数列的前n项和公式推导
[探究问题]
1．如图所示，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？
[提示] 在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以a1＝4为首项，以d＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)，
此时钢管总数为2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)，
原来钢管总数为S6＝×6＝39(根)．
2．通过探究1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？
[提示] Sn＝a1＋a2＋…＋an， ①
把数列{an}各项顺序倒过来相加得
Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1， ②
①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，
则Sn＝.
3．你能用a1，d，n表示探究2中的公式吗？该结果与Sn＝有什么区别与联系．
[提示] Sn＝＝
＝a1n＋，即Sn＝a1n＋.
该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n项和，在求解时都可以“知三求一”，求Sn时，都需知a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知d.
(1)已知等差数列{an}中，若a1 009＝1，求S2 017；
(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求.
[思路探究] 由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解．
[解] (1)法一：∵a1 009＝a1＋1008d＝1，∴S2 017＝2 017a1＋d＝2 017(a1＋1 008d)＝2 017.
法二：∵a1 009＝，∴S2 017＝×2 017
＝2 017a1 009＝2 017.
(2)法一：＝＝＝＝＝.
法二：∵＝＝，
∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴＝＝.
[规律方法]
1．若{an}是等差数列，则Sn＝·n＝na中(a中为a1与an的等差中项)．
2．若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
[跟踪训练]
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.
[解] 法一：∵a1＋a17＝a3＋a15，
∴S17＝＝＝＝340.
法二：∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，
∴S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.
法三：∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
C [由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.]
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7 C．9 D．11
A [法一：∵a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，
故选A.]
3. 在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
190 [S19＝＝＝19a10＝190.]
4．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝________.
3 [法一：由
解得d＝3.
法二：由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
∴20－4＝4＋4d，
解得d＝3.]
5．再过5天就是小明妈妈的生日，小明准备给妈妈买一份礼物，他从今天开始存钱，第一天存1元钱，以后每天比前一天多存1元钱，到第5天，小明共有多少元？
[解] 根据题意知，小明每天存的钱数构成首项为1，公差为1的等差数列，设数列为{an}，其前n项和为Sn，到第5天小明共有S5＝1×5＋×1＝15元．
课件41张PPT。第二章 数 列2.2 等差数列
2.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和必修5a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an等差数列Sn中基本量的计算 等差数列前n项和公式的实际应用 等差数列的前n项和公式推导 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等差数列前n项和的综合应用
学习目标：1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点)
1．Sn与an的关系
an＝
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
3．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
思考：{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？
[提示] 不一定．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若Sn为等差数列{an} 的前n项和，则数列也是等差数列． ( )
(2)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.( )
(3)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大． ( )
(4)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)·an. ( )
[提示] (1)√ 因为由等差数列前n项和公式知＝n＋a1－d，所以数列为等差数列．
(2)× 当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
(3)√ 由实数的运算可知该说法正确．
(4)√ 因为S2n－1＝
＝[an＋(1－n)d＋an＋(n－1)d]＝(2n－1)an.
2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．
5 [由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，
∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中间项a6＝5.]
3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.
15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴4＋(S6－9)＝2×5，∴S6＝15.]
4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．
23或24 [由an≤0得，2n－48≤0，n≤24.
∴当n＝23或24时，Sn最小．]
由数列的Sn求通项an
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证数列{an}是等差数列．
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n.
[解] (1)证明：a1＝S1＝1－3＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，
当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，
∴an＝2n－4.
又因为an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等差数列．
(2)由Sn＝35n－2n2＝－2＋.
当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.
[规律方法] 一般地，an与Sn有如下关系
an＝
an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数成立，由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情形，然后验证n＝1时是否满足n≥2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示．
[跟踪训练]
1．已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项．
[解] 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2
＝(b－b＋2bn－2bn－1)．
整理，得b－b－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．
又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1，
∴{bn}为等差数列，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
等差数列前n项和性质的应用
已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.
[解] 法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：
②－①，得ma1＋d＝70，
所以S3m＝3ma1＋d
＝3＝3×70＝210.
法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
所以30、70、S3m－100成等差数列．
所以2×70＝30＋S3m－100.
所以S3m＝210.
法三：在等差数列{an}中，因为Sn＝a1n＋n(n－1)d，
所以＝a1＋(n－1).
即数列构成首项为a1，公差为的等差数列．
依题中条件知、、成等差数列，
所以2·＝＋.
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)
＝210.
[规律方法] 在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组).要注意等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列且公差为m2d，，，，…也成等差数列，用此性质可简化运算.
[跟踪训练]
2．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
[解] 设等差数列共2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，记为an＋1，设公差为d，
则
∴S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1＝11，
即中间项an＋1＝11.
又S2n＋1＝S奇＋S偶＝77.
∴
＝＝77，
∴(2n＋1)×11＝77，
∴2n＋1＝7，
即数列的中间项为11，这个数列共7项．
等差数列前n项和Sn的函数特征
[探究问题]
1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
[提示] 首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，
显然Sn是关于n的二次型函数．
如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列．
一般地，等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，若令A＝，B＝a1－，则上式可写成Sn＝An2＋Bn(A，B可以为0)．
2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．
你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示] Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.
[思路探究] (1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
[解] (1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，
所以an＝34－2n.
(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的
图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Sn′＝
[规律方法]
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
[跟踪训练]
3．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22.
(1)该数列第几项开始为负；
(2)求数列{|an|}的前n项和．
[解] 设等差数列{an}中，公差为d，由题意得
∴
(1)设第n项开始为负，
an＝50－3(n－1)＝53－3n<0，
∴n>，
∴从第18项开始为负．
(2)|an|＝|53－3n|
＝
当n≤17时，Sn′＝－n2＋n；
当n>17时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)，
Sn′＝－＋2S17
＝n2－n＋884，
∴Sn′＝
1．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B．20 C．22 D．24
B [由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.]
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C [由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
或由解方程组
求得d＝3，故选C.]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
[当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]
＝2n－1，又因为n＝1时an＝2n－1＝1≠a1，
所以an＝]．
4．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值为________．
－1 [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.]
5．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.
(1)求数列 {an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
当n＝1时也满足此式，
∴an＝4n－32，n∈N＋.
(2)由(1)知bn＝an＋an＋1＝(4n－32)＋(4n－28)＝8n－60，
∴数列{bn}是以8为公差的等差数列，
b1＝－52，
∴Tn＝×n＝4n2－56n.
课件57张PPT。第二章 数 列2.2 等差数列
2.2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的综合应用必修5S1Sn－Sn－1S2n－SnS4n－S3n负数小正数大S1小S1由数列的Sn求通项an 等差数列前n项和性质的应用 等差数列前n项和Sn的函数特征 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 等差数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
B [设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以
所以S5＝5a1＋d＝15.]
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋5n，则公差d等于( )
A．1 B．2
C．5 D．10
B [∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8∴d＝a2－a1＝2.]
3．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，
所以d＝－.]
4．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
B [∴S8＝8a1＋d＝8a1＋28，S4＝4a1＋d＝4a1＋6.
因为S8＝4S4，即8a1＋28＝4(4a1＋6)，所以a1＝，
所以a10＝a1＋9d＝.]
5．在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为( )
A．0 B．100
C．1 000 D．10 000
D [{an＋bn}的前100项的和为＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝50×200＝10 000.]
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
[a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.]
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________.
350 [法一：设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得，所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350.
法二：设Sn＝An2＋Bn, 则，
解得，所以S10＝3×102＋5×10＝350.]
8．等差数列{an}中，d＝，S100＝145，an＝－，则n＝________.
21 [S100＝100a1＋50×99d＝145，d＝，所以a1＝－，an＝a1＋(n－1)d＝－，解得n＝21.]
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
[解] 因为{an}是等差数列，
所以Sn＝na1＋d，
可得
解得a1＝－15，d＝4，
所以S28＝28a1＋d
＝28×(－15)＋14×27×4＝1 092.
[能力提升练]
1．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 015，Sk＝S2 009，则正整数k为( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 015，Sk＝S2 009，可得＝，解得k＝2 017.故选D.]
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
D [Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d，又a1＝1，d＝2.Sk＋2－Sk＝24，所以2＋2(2k＋1)＝24，得k＝5.]
3．在等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，若Sn＝12，则n＝________.
3 [公差d＝＝＝2，则a1＝a2－d＝4－2＝2，又Sn＝12，所以na1＋d＝12，得n＝3.]
4．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________．
5 [由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个．]
5．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
[解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
课时分层作业(六) 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
C [由题知a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，又S13＝＝13a7，所以S13是常数．]
2．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
C [由题知，S13＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以a7<0，a6＋a7>0所以a6>－a7＝|a7|，所以a7绝对值最小．]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
D [当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又因a1＝1适合an＝2n－1，所以，an＝2n－1.]
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则S12＝( )
A．120 B．130
C．90 D．110
A [S3＝3a2＝3.S6＝＝24，所以a2＝1，a5＝7，所以d＝2，所以a1＝－1，所以S12＝－1×12＋×2＝120.]
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，那么的值为( )
A． B．
C． D．
D [设S4＝m，则S8＝3m，由性质得S4、S8－S4、S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝m，S8－S4＝2m，所以S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，∴＝＝.]
6．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于________．
2∶1 [由性质得S7＝7a4，S3＝3a2，所以S7∶S3＝7a4∶3a2＝2∶1.]
7．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．
23或24 [∵a24＝0，∴a1<0，a2<0，…，a23<0，故S23＝S24最小．]
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
4或5 [由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大．
∴n＝4或5.]
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
[解] 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
[解] ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
[能力提升练]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.]
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
A．9 B．8
C．7 D．6
B [∵an＝
∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，
得7.53．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________．
19 [因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，
所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，
所以S20＝>0.
又因为a10＋a10<0，
所以S19＝＝19a10<0，
故满足Sn<0的n的最大值为19.]
4．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．
4 032 [由条件可知数列单调递减，
故知a2 016>0，a2017<0，
故S4 032＝＝>0，
S4 033＝＝4 033×a2017<0，
故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 032.]
5．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有a，Sn，an成等差数列，求an.
[解] ∵a，Sn，an成等差数列，
∴2Sn＝an＋a.
当n＝1时，2S1＝a1＋a，又a1>0，∴a1＝1
当n≥2时2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
∴(a－a)－(an＋an－1)＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0
∵an＋an－1>0.∴an－an－1＝1，
∴{an}是等差数列，其公差为1，
∵a1＝1，∴an＝n.
