2.3 等比数列
2.3.1 等比数列
第1课时 等比数列
学习目标：1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．
思考1：等比数列还可以用哪种符号语言表示？
[提示] ＝q(q为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)
2．等比中项
(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．
(2)结论：G叫做x，y的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝xy.
思考2：任意两数都有等比中项吗？
[提示] 不是，只有同号的两数才有．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从
图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列一定是等比数列． ( )
(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． ( )
(3)等比数列中的项可以为零． ( )
[提示] (1)× (2)√ (3)×
2．在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an＝________.
4·3n－1 [an＝a1qn－1＝4·3n－1.]
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
[∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝，②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.]
4．在等比数列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，则a8＝________.
192 [由得
所以a8＝·27＝192.]
等比数列的判定
数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
[解] (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
[规律方法] 判断一个数列是否是等比数列的常用方法
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列.
(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)?{an}为等比数列.
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列.
[跟踪训练]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
[证明] ∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
等比中项的应用
在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
[解] 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.
[规律方法] 由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0).
[跟踪训练]
2．已知a，－，b，，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
[解] 由题意知b2＝×＝，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝，解得a＝；
bc＝＝，
解得c＝.
同理，当b＝－时，a＝－，
c＝－.
综上所述，a，b，c的值分别为，，或－，－，－.
等比数列的通项公式
[探究问题]
1．类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？
[提示] 由等比数列的定义可知：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
2．由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？
[提示] 由＝q，知＝q，＝q，
＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；
由两式相比得＝qn－m，
则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？
[提示] 若a1＝2，q＝，则a3＝2·＝；
若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，
所以q＝±2，
由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”．
(1)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.
[思路探究] (1)先由a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，
列出方程组，求出a1，q，然后再由an＝1解出n.
(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式．
[解] (1)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
[规律方法]
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练]
3．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
[解] (1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
∴a5＝405.
(2)因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
1．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A． B．
C．－ D．或－
C [由解得或
又a1＜0，因此q＝－.]
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
B [因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.]
3．在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________.
12 [法一：由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12.
法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5成等比数列，＝，∴a＝a3·a5，∴a5＝＝12.]
4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
4× [由已知可知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，
所以an＝4×.]
5．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8，
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
[解] (1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；
当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
(2)当an＝时，28－n＝或32×＝，
解得n＝9.
课件45张PPT。第二章 数 列2.3 等比数列
2.3.1 等比数列
第1课时 等比数列必修52同一常数公比qGxya1qn－1孤立等比数列的判定 等比中项的应用 等比数列的通项公式 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等比数列的性质
学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)
1．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积． ( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列． ( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列． ( )
[提示] (1)√ (2)× (3)√
2．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．
1 [只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.]
3．正项等比数列{an}中，a2a5＝10，则lg a3＋lg a4＝________.
1 [lg a3＋lg a4＝lg(a3a4)
＝lg(a2a5)
＝lg 10＝1.]
4．在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝16，则a10＝________.
128 [∵数列{an}是等比数列，
∴a10·a2＝a，
即a10＝＝＝128.]
等比数列性质的应用
已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
[解] (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)∵a＝a1a3代入已知，得a＝8，∴a2＝2.
设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.
整理，得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.
[规律方法] 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
[跟踪训练]
1．(1)在递增等比数列{an)中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
(2)已知数列{an)成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
[解] (1)在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
联立得或.
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8，
解得a4＝2.
又∵a2a6＝a3a5＝a，∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
灵活设项求解等比数列
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，
所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[规律方法] 合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
[跟踪训练]
2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
[解] 设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
由递推公式转化为等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N＋)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？
[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
[提示] 在an＋1＝2an＋1两边都加1得
an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？
[提示] 设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an＋即可求出an.
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[思路探究] (1)先由an＋Sn＝n，利用Sn与an的关系得{an}的递推关系式，然后构造出数列{an－1}，利用定义证明即可．
(2)由(1)求出an代入bn＝an－an－1(n≥2)即可．
[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝.∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，
∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·
＝－，
∴an＝cn＋1＝1－.
∴当n≥2时，
bn＝an－an－1＝1－－1－＝－＝.
又b1＝a1＝，代入上式也符合，
∴bn＝.
[规律方法]
1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
[跟踪训练]
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，
即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
B [由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.]
2．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于( )
A．－ B．
C．± D．
A [∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，
∴b2＝2，∴＝＝－.]
3．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )
A． B．
C． D．
D [由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.]
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
7 [∵a6a10＝a，a3a5＝a，
∴a＋a＝41.
又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.
∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.]
课件43张PPT。第二章 数 列2.3 等比数列
2.3.1 等比数列
第2课时 等比数列的性质必修5等比数列ak＋1q等比数列akqkap·aq积等比数列等比数列性质的应用 灵活设项求解等比数列 由递推公式转化为等比数列求通项 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 等比数列
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．2＋与2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
C [2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.]
2．在等比数列{an}中，a2 018＝8a2 017，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
D [由等比数列的定义知q＝＝8.]
3．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则通项公式an＝( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
A [由a5＝－8a2知＝－8＝q3.所以q＝－2，
又因为a5>a2，所以a5>0，a2<0，
所以a1＝>0，
所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.]
4．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝( )
A．1 B．3
C．±1 D．±3
A [由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.]
5．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.]
6．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________.
－2 [由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，
即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，
化简得2a1d＋20d2＝0，
由a1＝20，d≠0，得d＝－2.]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
8．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
1 [设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
[解] 法一：因为a1a3＝a，
a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.
从而
解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.
法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知，得
即
即
将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.
由②，得或
故an＝2n－1或an＝23－n.
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×＝.
[能力提升练]
1．在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝24－n B．an＝2n－4
C．an＝2n－3 D．an＝23－n
A [设公比为q，则＝q3＝＝，所以q＝，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·＝24－n.]
2．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A． B．
C． D．
C [第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝. 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.]
3．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64 [设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得
a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，
∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.]
4．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．
－ [因为k,2k＋2,3k＋3成等比数列，所以k(3k＋3)＝(2k＋2)2，得k＝－4或－1(舍)，所以q＝＝，
所以前三项为－4，－6，－9，所以第四项为－9×＝－.]
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)法一：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N＋)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
法二：由a1＝1，
知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
因为＝＝＝2(n∈N＋)，
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
课时分层作业(八) 等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
D [因为q＝－<0，所以{an}是摆动数列．]
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．]
3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(a∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，
则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－
C．5 D．
A [由题知log3an＋1＝log3(3an)＝log3an＋1
所以an＋1＝3an>0，所以＝3，
所以{an}是公比为3的等比数列．
所以a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35，
所以log (a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.]
4．已知－9，a1，a2，－1四个数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于( )
A．－8 B．8
C．－ D．
A [由题知a2－a1＝＝，b＝(－9)×(－1)＝9，且b2<0，所以b2＝－3，所以b2(a2－a1)＝(－3)×＝－8.]
5．在正项等比数列{an}中，an＋1
A． B． C. D．
D [设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得a＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝＝.]
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
256 [∵a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
∴a3a8＝213.
∵a3＝16＝24，∴a8＝29＝512.
又∵a8＝a3q5，∴q＝2，
∴a7＝＝＝256.]
7．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________.
90 [由题知a＋b＝6＋48＝54，＝，cd＝6×48
所以c＝12，d＝24，所以a＋b＋c＋d＝54＋12＋24＝90.]
8．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________.
6 [由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6.]
9．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
[解] 设这个等比数列为{an}，
其公比为q，a1＝，a5＝＝a1q4＝·q4.
所以q4＝，q2＝.
所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3
＝a·q6＝·＝63＝216.
10．设二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N＋)有两个根α，β且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
[解] (1)由根与系数的关系得，α＋β＝，αβ＝，
又6α－2αβ＋6β＝3，所以－＝3，
即an＋1＝an＋.
(2)因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝，
又a1－＝，
故是以为首项，公比也为的等比数列，an－＝，所以数列{an}的通项公式为an＝＋.
[能力提升练]
1．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A．3 B．27
C．3或27 D．15或27
C [设此三数为3，a，b，则
解得或
所以这个未知数为3或27.]
2．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
C [∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.]
3．在等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
8 [由等比数列的性质得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.]
4．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
－9 [由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，
∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝＝－，∴6q＝－9.]
5．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
[解] 依题设得an＝a1＋(n－1)d，a＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，
∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.
