2.3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(难点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
等比数列的前n项和公式
思考：等比数列求和应注意什么？
[提示] 公比q是否等于1.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求． ( )
(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列． ( )
[提示] (1)× (2)√ (3)√
2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
3或－4 [∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.]
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.
4 [由S5＝＝44，
得a1＝4.]
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
－11 [由8a2＋a5＝0，
得＝－8，即q3＝－8，
所以q＝－2.
＝＝＝－11.]
前n项和公式基本量的运算
在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
[解] (1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
法二：∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝.
[规律方法]
1．在等比数列{an}的五个量“a1，q，an，n，Sn”中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[跟踪训练]
1．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
2 2n＋1－2 [设等比数列{an}的公比为q，
因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，所以
解得
所以Sn＝＝＝2n＋1－2.]
等比数列前n项和的综合应用
借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借货后笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?
[解] 法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝.因为1.016≈1.061，
所以a≈≈1 739(元)．
故每月应支付1 739元．
法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还货a元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝≈1 739(元)．
故每月应支付1 739元．
[规律方法] 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
[跟踪训练]
2．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过1 25 m吗？
[解] 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝
＝125×[1－]<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
错位相减法求和
[探究问题]
1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[思路探究] (1)利用Sn与an的关系求出an，再利用待定系数法求出bn.(2)先化简cn，再利用错位相减法求和．
[解] (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，
得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
[规律方法] 错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.
(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.
[跟踪训练]
3.＋＋＋…＋＝________.
[令Sn＝＋＋＋…＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋，②
由①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－
＝－，
得Sn＝2－－＝.]
1．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
C [数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.]
2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( )
A．2 B．
C．4 D．
C [a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得，a4－a3＝3a3即a4＝4a3，∴q＝4.]
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
2 [∵q＝2，n＝5，Sn＝62，
∴＝62，
即＝62，
∴a1＝2.]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________.
－或1 [∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a3，∴a1＋a2＝2a3，∵a1≠0，∴1＋q＝2q2，即2q2－q－1＝0，∴q＝－或1.]
5．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
[解] (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝－.
课件45张PPT。第二章 数 列2.3 等比数列
2.3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和必修5na1 na1 前n项和公式基本量的运算 等比数列前n项和的综合应用 错位相减法求和 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)
等比数列前n项和的性质
性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qnSm.
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q.
③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.( )
(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列． ( )
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列． ( )
[提示] (1)× 因为由等比数列前n项和的性质＝q，得q＝＝.
(2)× 因为由Sn＝＝－qn＋，
知在Sn＝a·3n－1－1＝·3n－1中＝1，故a＝3.
(3)√ 因为a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)，
所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．
(4)× 因为在等比数列中Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n成等比数列，故S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．
2．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝___.
3 [∵q＝＝＝＝，
∴＝＝3.]
3．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.
210 [法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，
S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，
即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.
法二：设数列{an}的首项为a1，公比为q，
显然q≠1，则
由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得
＝－，
所以S15＝＝－×(1－43)＝210.]
等比数列前n项和Sn的函数特征
设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于( )
A．(8n－1) B．(8n＋1－1)
C．(8n＋2－1) D．(8n＋3－1)
B [f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝(8n＋1－1)．]
[规律方法] 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.
[跟踪训练]
1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝_____.
－ [显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]
等比数列前n项和性质的应用
已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
[证明] 法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，
S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
法二：根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
[规律方法] 运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
[跟踪训练]
2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
[解] 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝， ③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
等差、等比数列的性质应用对比
[探究问题]
1．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝6，则an＝_____；若将{an}改为等比数列，则an＝________.
[提示] 法一：若{an}为等差数列，则解得a1＝－14，d＝4，所以an＝4n－18，
若{an}为等比数列，则解得a1＝－6，q＝－1，所以an＝－6·(－1)n－1＝6(－1)n.
法二：若{an}为等差数列，由6＝－6＋3d得d＝4，
所以an＝－6＋(n－3)×4，即an＝4n－18.
若{an}为等比数列，由6＝(－6)·q3得q＝－1，所以an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.
2．在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则a＋b＋c＝________，a·b·c＝________，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？
[提示] 若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b＝4；
1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a＝2，
c＝8，故a＋b＋c＝14，abc＝b3＝64；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求a＋b＋c及abc.
3．若Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S2＝1，S4＝3，则S6＝________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？
[提示] 若 {an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也为等差数列，即1,2，S6－3成等差数列，所以S6－3＋1＝4，则S6＝6；
若{an}为等比数列，则1,2，S6－3成等比数列，所以S6－3＝4，则S6＝7.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.
[思路探究] (1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d.
(2)解决本小题关键是认识到＋＋…＋是数列的前n项和．求解时先利用“Sn与an的关系”求出{}的通项，再求出bn，进一步求和．
[解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
解得
因此an＝2n－1，n∈N＋.
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝.
所以＝，n∈N＋.
由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，
所以bn＝，n∈N＋.
所以Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋.
两式相减，得
Tn＝＋－
＝－－，
所以Tn＝3－.
[规律方法]
1．本题对于＋＋…＋＝1－式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法．
2．求解数列综合问题的步骤
(1)分析题设条件．
(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．
(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．
(4)整理求解．
[跟踪训练]
3．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
[解] (1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减，得
an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又∵a2＝2S1＋1＝3，
∴a2＝3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d1＝2，d2＝－10.
∵等差数列{bn}的各项为正，
∴d>0，∴d＝2.
Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )
A． B．
C． D．
C [当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.]
2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A． B． C. D．
B [依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.]
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝4，则＝________.
[法一：设公比为q(q≠0)，由题意知q≠－1，根据等比数列前n项和的性质，得＝＝1＋q4＝4
即q4＝3.
于是＝＝＝.
法二：因为{an}是等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，设S4＝m(m≠0)，则有S8＝4m，S8－S4＝3m
则S12－S8＝9m，∴＝＝.]
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________.
－1 [法一：当n＝1时，a1＝S1＝5＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n＋k)－(5n－1＋k)＝5n－5n－1＝4·5n－1.
由题意知{an}为等比数列，
∴a1＝5＋k＝4，∴k＝－1.
法二：由题意，{an}是等比数列，a1＝5＋k，a2＝S2－S1＝20，a3＝S3－S2＝100，由a＝a1a3得100(5＋k)＝202，解得k＝－1.]
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝4，S8＝12，求a21＋a22＋a23＋a24的值．
[解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上述数列的首项为S4＝4，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n＋1(n≥2)，
所以a21＋a22＋a23＋a24＝S24－S20＝27＝128.
课件46张PPT。第二章 数 列2.3 等比数列
2.3.2 等比数列的前n项和
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用必修5等比qnSmq等比等比数列前n项和Sn的函数特征 等比数列前n项和性质的应用 等差、等比数列的性质应用对比 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
B [法一：由题知S5＝＝＝1，得a1＝，所以S10＝＝＝33.
法二：由＝q5，得S10＝(q5＋1)S5＝33.]
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
A [＝q2＝＝，a7＋a8＝(a1＋a2)q6＝40×＝135.]
3．等比数列{an}的通项an＝2·3n－1，其前n项和为Sn，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝( )
A．3n－1 B．32n－1－1
C．(9n－1) D．9n－1
C [S2n＝a1＋a3＋…a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n]
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)
∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝S2n＝×
＝(9n－1)．]
4．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S5＝18，则等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
D [由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.]
5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
A [当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，
∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.]
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.]
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝5，则＝________.
[由性质得：S5、S10－S5，S15－S10成等比数列．
因为＝5，所以设S10＝5S5，所以S10－S5＝4S5，所以S15－S10＝16S5
∴S15＝21S5，∴＝＝.]
8．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
450 [由＝q，q＝2，得＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.]
9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
[解] ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由
∴
∴
∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
[解] (1)∵S1＝a1＝1，
且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1.
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.
当n＝1时a1＝1，不适合上式．，
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
[能力提升练]
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )
A．8 B．12
C．16 D．24
C [设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.]
2．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．]
3．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
2n－1 [an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.]
4．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝3an＋，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
[依题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，所以an＝2n－(n∈N*)，则bn＝3an＋＝32n，由＝＝32＝9，可知{bn}为等比数列，b1＝32×1＝9，故Tn＝＝.]
5．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)若Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝.
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＝×n－1＝，
Sn＝＝.
∴Sn＝.
(2)∵log3an＝log33(－n)＝－n，
∴bn＝log3a1＋log3a2＋…log3an
＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－.
∴数列{bn}的通项公式为
bn＝－.
课时分层作业(九) 等比数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A． B．
C． D．
D [Sn＝＝.]
2．等比数列{an}，a1＝1，S6＝63，则公比q的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．
A [当q＝1时，S6＝6a1＝6≠63，不符合题意，
当q≠1时，S6＝＝＝63，将选项代入检验，可得q＝2.]
3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
B [根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.]
4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－ B．
C．－或1 D．或1
C [由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.]
5．数列{an}的通项公式为an＝，其前10项的和为( )
A． B．
C． D．
D [设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝1×＋2×＋…＋n×两边乘以，
Sn＝1×＋2×＋…＋n×
两式相减，
Sn＝＋＋…＋－n×
＝－n×
＝1－－n×，
所以Sn＝2－(n＋2)，
所以S10＝2－12×＝.]
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]
7．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
15 [∵S4＝，a4＝a1q3，
∴＝＝15.]
8．正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}的前9项和等于________．
1 022 [设公比为q(q>0)，则＝q2＝＝4，所以q＝2，a1＝2，所以S9＝＝210－2＝1 022.]
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
[解] 设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
[能力提升练]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B．(2n－1)2
C．4n－1 D．(4n－1)
D [a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a6＝10，＋＋…＋＝5，则a1·a2·…·a6＝( )
A．2 B．8
C． D．
B [设{an}首项为a，公比为q，由题知
得aq5＝2，
则a1a2…a6＝aq1＋2＋…＋5＝(aq5)3＝8.]
3．等比数列{an}的公比不为1，若a1＝1，且对任意的n∈N*，都有an＋1，an，an＋2成等差数列，则数列{an}的前5项和S5＝________.
11 [由题意知a2，a1，a3成等差数列，即有a2＋a3＝2a1＝2，即q＋q2＝2，解得q＝－2或1(舍)，所以S5＝＝＝11.]
4．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·3n－2－，则实数t的值为________．
3 [由Sn＝t·3n－2－，得Sn＝，根据等比数列前n项和公式的性质Sn＝A(qn－1)，可得＝1，解得t＝3.]
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．
(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn；
[解] (1)由a1＝1，an＋1－an＝2得
an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，
所以bn＝2n－1.
(2)cn＝(2n－1)2n－1，
Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，
2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，
上述两式作差得
－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，－Sn
＝1＋2－(2n－1)2n，
所以Sn＝3－2n(3－2n)．
