课时分层作业(二十三) 曲线与方程的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为( )
A．f(x－3，y)＝0 B．f(y＋3，x)＝0
C．f(y－3，x＋3)＝0 D．f(y＋3，x－3)＝0
D [(x，y)关于x－y－3＝0的对称点为(y＋3，x－3)，故选D.]
2．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，2)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [点A，C，D都在方程的曲线上．]
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
B [由x＋|y－1|＝0可知曲线过点(－1，0)，(－1，2)，所以只有选项B正确．]
4．已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上
C．不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
C [命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题为C，故选C.]
5．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A． B．
C．或 D．或
C [由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又0≤α＜2π，∴α＝或α＝.]
6．方程x2＋y2－3x－2y＋k＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k＝________．
0 [由曲线过原点知，(0，0)适合曲线的方程，故k＝0.]
7．观察下列表格中的三组方程与曲线，说出它们之间的关系：
序号
(1)
(2)
(3)
方程
y＝x
x＝
x2＋y2＝1
曲线
(1)________；
(2)________；
(3)________．
[答案] (1)曲线是方程所表示的曲线的一部分
(2)方程所表示的曲线是图中曲线的一部分
(3)方程是曲线的方程
8．给出下列结论：①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程|x－3|＋(y2－9)2＝9表示两个点．其中正确结论的序号是________．
③ [对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点(2，0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示(3，－3)，(3，3)两个点，所以③正确．故填③.]
9．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
[解] 由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，
∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆．
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝π·4＝2π.
所以，所求图形的面积为2π.
10．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
[证明] ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
[能力提升练]
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
B [将点代入x＋y－3＝0，满足方程；代入(x－3)2＋(y－2)2＝2也满足方程，故点M在直线l上，也在曲线C上．]
2．方程＝表示的曲线是( )
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
A [由＝，得1－|x|＝1－y且|x|＜1，y＜1，∴y＝|x|＝]
3．下列说法正确的是________．(填序号)
已知f(x，y)＝0是曲线C的方程，
(1)若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M在曲线C上；
(2)若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M不一定在曲线C上；
(3)若点M(x，y)在曲线C上，则点M的坐标满足方程f(x，y)＝0；
(4)若点M(x，y)在曲线C上，则点M的坐标不一定满足方程f(x，y)＝0.
[答案] (1)(3)
4．已知＋＝1(m＞0，n＞0)，当mn取得最小值时，直线y＝－x＋2与曲线＋＝1的交点个数为________．
2 [∵＋＝1，∴＋≥2，∴≤，∴mn≥8，当且仅当＝＝，即m＝2，n＝4时，mn取最小值，为8，故曲线为＋＝1.当x≥0，y≥0时，方程为＋＝1；当x<0，y>0时，方程为－＋＝1；当x＞0，y＜0时，方程为－＝1.作出曲线可知有两个交点．]
5．指出方程(x＋y－1)·＝0所表示的曲线．
[解] 由(x＋y－1)＝0，
可得或x2＋y2－4＝0，
即或x2＋y2＝4.
由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＜2，得直线与圆相交，
所以表示直线x＋y－1＝0与圆x2＋y2＝4的交点及在圆x2＋y2＝4外面的部分．
又x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆，
所以原方程表示圆心在原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线与圆x2＋y2＝4的交点及在圆x2＋y2＝4外面的部分．
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念
学习目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点) 3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．
1．曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．
思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] 若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0.
2．两条曲线的交点坐标
曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的实数解．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x. ( )
(2)方程－＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线． ( )
(3)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件． ( )
[提示] (1)√
(2)× x－y＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．
(3)× 必要不充分条件．
2．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
A．x2＋y＝0与xy＝0
B．＝0与x2－y2＝0
C．y＝lg x2与y＝2lg x
D．x－y＝0与y＝lg 10x
[答案] D
3．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )
A B C D
[答案] D
曲线与方程的概念
分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[解] (1)过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
[规律方法] 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
[跟踪训练]
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
B [“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．]
2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
C [方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
∴表示两条直线2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.]
曲线与方程关系的应用
已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝，y＝－m适合上述方程，
即＋(－m－1)2＝10，
解之得m＝2或m＝－，
∴m的值为2或－.
[规律方法]
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
[跟踪训练]
3．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
[解] ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－2＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
由方程判断其表示的曲线
[探究问题]
如何证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0?
[提示] 用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的解；第二步，设(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的任一解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲线是什么？
[思路探究] 将方程转化为或－1＝0，再判断曲线形状．
[解] 因为(2x＋3y－5)(－1)＝0，所以可得或者－1＝0，也就是2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.
母题探究：1.(变换条件)把方程换成“2－1(2x＋3y－5)＝0”，其表示什么曲线？
[解] 由2－1(2x＋3y－5)＝0得2x＋3y－5＝0(x≥3)表示一条射线．
2．(变换条件)把方程换成“(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？
[解] 由(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0得
或者x＋2y＝8，也就是2x＋3y－5＝0(x＜10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x＜10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.
[规律方法] 方程表示的曲线的判断步骤为：
提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称
C [将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.]
2．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为( )
A．2 B．3 C． D．
D [因为点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，代入曲线方程可得a＝，故选D.]
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
4个点 [由方程得，表示四个点．]
4．方程＝表示的曲线是________．
两条线段 [由已知得1－|x|＝1－y，1－y≥0，
1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.
∴曲线表示两条线段．]
5．如果方程ax2＋by2＝4的曲线过点A(0，－2)，B(1，0)，求a，b的值．
[解] 由已知得
解得a＝4，b＝1.
课件39张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念选修2-1轨迹方程曲线C上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线曲线与方程的概念 曲线与方程关系的应用 由方程判断其表示的曲线 点击右图进入…Thank you for watching !
