课时分层作业(二十五) 椭圆的标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．7 C．5 D．8
D [将椭圆的方程转化成标准形式为
＋＝1.
由题意知m－2＞10－m＞0，即6＜m＜10.
由()2－()2＝22，解得m＝8，满足题意．]
2．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A．8 B．2 C．10 D．4
A [由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|·|PF2|≤＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．
3．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A．＋x2＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
A [设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，
由题意得
解得]
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
C [直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1.]
5．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2
B [因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.]
6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
②④ [①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；④点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．故填②④.]
7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
＋＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
∴椭圆经过点P1，P2，
∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.]
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．
[由题意可知A，C恰为椭圆＋＝1的两焦点，又点B在椭圆上，故|BC|＋|AB|＝10.∴＝＝＝.]
9．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2.
[解] (1)∵椭圆焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过(2，0)和，
∴?
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
∵P到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－c－(－10)＝2，∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图：
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
[能力提升练]
1．以圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．x2＋＝1
B [由已知c＝1，且焦点在x轴上，
设椭圆方程为＋＝1，
将点代入求得a2＝4或a2＝(舍去)．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.]
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A [设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，
联立
故椭圆方程为＋＝1.]
3．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________．
64 [∵F1，F2为椭圆焦点，∴|F1F2|＝12.
∵P是椭圆上一点，
∴根据椭圆性质，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20 ①
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝122 ②
联立①②可求得|PF1|·|PF2|＝128.
∴S＝|PF1|·|PF2|＝64.]
4．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则此椭圆的方程为________．
＋＝1 [设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，C，F(，0)，依题意得，得＝，所以M，由于O，C，M三点共线，所以＝，则a2－2＝2，所以a2＝4，所以b2＝2，所以所求的椭圆的方程为＋＝1.]
5．如图所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.求椭圆的标准方程．
[解] 设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2，得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1|·|F1F2|＝c2＝，
故c＝1.
从而|DF1|＝.
由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，
因此|DF2|＝，所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，
故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程
学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示] 2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a＞|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
2.椭圆的标准方程
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标
(±c，0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？
[提示] a，b的值及焦点所在的位置．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±3，0)． ( )
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． ( )
[提示] (1)× 2a＞|F1F2|.
(2)× (0，±3)．
(3)× a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．
2．以下方程表示椭圆的是( )
A．＋＝1 B．2x2－3y2＝2
C．－2x2－3y2＝－1 D．＋＝0
C [A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．]
3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0，2)的椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
C [若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1.]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＋＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有
解得
因为a>b>0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[规律方法] 确定椭圆方程的“定位”与“定量”
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
[跟踪训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)；
(2)经过两点(2，－)，.
[解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝12，所以a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
与椭圆有关的轨迹问题
如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
[解] 由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，
|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝5.
∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1，0)，A(1，0)，
∴a＝，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求轨迹方程为：＋＝1.
[规律方法] 在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法．
[跟踪训练]
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解] 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r.
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[探究问题]
1．如何用集合语言描述椭圆的定义？
[提示] P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．
2．如何判断椭圆的焦点位置？
[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程，a，b，c三个量的关系是什么？
[提示] 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.(如图所示)
如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P为椭圆上的点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路探究] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．
[解] 由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
②代入①解得|PF1|＝ .
所以S＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
母题探究：1.(变换条件)把本例条件“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”求△PF1F2的面积．
[解] 由已知得a＝2，b＝，c＝1，|F1F2|＝2
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，
即4＝|PF1|2＋|PF2|2＋|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|·|PF2|＝12，
所以S＝|PF1|·|PF2|·sin 120°＝×12×＝3，
即△PF1F2的面积是3.
2．(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．
[解] 设P点坐标为(x0，y0)．
由本例解答可知S＝|F1F2|·|y0|＝，
解得|y0|＝，即y0＝±，
将y0＝±代入＋＝1得x＝±，
所以点P的坐标为.
[规律方法] 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量.
1．已知点M到两个定点A(－1，0)和B(1，0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
B [定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上．]
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )
A．1 B．5 C．2 D．7
D [由|PF1|＋|PF2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为( )
A．10 B．20 C．40 D．50
B [由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝20，故选B.]
4．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离
之和为4，则椭圆C的方程是________．
＋＝1 [由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，
∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.]
5．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹．
[解] 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝.
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆．
课件49张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程选修2-1和等于常数焦点焦距求椭圆的标准方程 与椭圆有关的轨迹问题 椭圆的定义及其应用 点击右图进入…Thank you for watching !
