课时分层作业(二十六) 椭圆的几何性质(一)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．9
B [由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.]
2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 ( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
C [解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.]
3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [由题意得2a＝＝8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝＝2 cm，∴e＝＝.故选A.]
4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
C [曲线＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＋＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.则C正确．]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A [∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.]
6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，且椭圆的长轴长是焦距的2倍，则a＝________．
2 [由椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，即b＝.又椭圆的长轴长是焦距的两倍，即2a＝2·2c.∵a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴a＝2.]
7．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
＋＝1或＋＝1 [由条件知，2a＝20，＝，∴a＝10，c＝6，b＝8，
故标准方程为＋＝1或＋＝1.]
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
[由·＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以09．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝＞0，∴m＞，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标为F1，F2；
四个顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
[解] (1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0(2)证明：由(1)知mn＝b2，
∴S＝mnsin 60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
[能力提升练]
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
B [由题意知点P的坐标为，或，因为∠F1PF2＝60°，那么＝，∴2ac＝b2，这样根据a，b，c的关系式化简得到结论为，选B.]
2．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．∪
C [椭圆标准方程为x2＋＝1.
当m>1时，e2＝1－∈，解得m＞；
当03．如果椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，且a－c＝，则椭圆的方程是________．
＋＝1 [如图所示，
由△AF1F2为正三角形，
可得2c＝a，又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.]
4．如图所示，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．
[由题意知OQ垂直平分PF2.
所以|PO|＝|OF2|＝c.
又O为F1F2的中点，Q为PF2的中点，所以PF1∥OQ，∴PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|OQ|＝2b，∴|PF2|＝＝＝2.
由椭圆的定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2b＋2，即a－b＝，两边平方整理可得3b2＝2ab，
∴3b＝2a，∴9b2＝4a2，∴9(a2－c2)＝4a2，
即5a2＝9c2，∴a＝3c，∴e＝＝. ]
5．如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0),
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2. ①
又由·＝(－c，－b)·＝
?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1. ②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时分层作业(二十七) 椭圆的几何性质(二)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交．]
2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1 C．0 D．0或1
A [由题意，得＞2，所以m2＋n2＜4，则－2＜m＜2，－23．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝·＝＝＝－，因为k2∈[－2，－1]，所以k1∈.]
4．若椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B．
C． D．
B [由直线x＋y－1＝0，可得y＝－x＋1代入mx2＋ny2＝1得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－(x1＋x2)＝.设AB的中点为M，则M的坐标为，∴OM的斜率k＝＝，∴＝.]
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
C [因为椭圆的离心率为，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.]
6．直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为________．
[联立直线与椭圆方程得?5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
∴弦长d＝|x1－x2|＝×＝.]
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
[易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，
∴||min＝.]
8．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
[A(－1，0)关于直线l：y＝x＋2的对称点为A′(－2，1)，连接A′B交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|＝＝，所以椭圆C的离心率的最大值为＝＝.]
9．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A，B两点，且△F2AB的最大面积为，求椭圆的方程．
[解] 由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，
所以椭圆方程设为x2＋2y2＝2c2.
设直线AB：x＝my－c，
由，得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，
Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)
＝8c2(m2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是方程的两个根．
由根与系数的关系得
所以|y1－y2|＝＝
S＝|F1F2||y1－y2|＝c·2c·
＝≤2c2·＝c2，
当且仅当m＝0时，即AB⊥x轴时取等号，
∴c2＝，c＝1，
所以，所求椭圆方程为＋y2＝1.
10．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
[解] (1)证明：椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由
消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)＞0得a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)∵e＝，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2，
又∵a2＋b2＝2a2b2，
∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
[能力提升练]
1．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2 C．2 D．4
C [设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，联立，消去x，得(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得3m＋n＝16mn，即＋＝16 ①.又由焦点F1(－2，0)，F2(2，0)在x轴上，得－＝4 ②，联立①②，解得，故椭圆的方程为＋＝1，所以长轴长为2.故选C.]
2．已知椭圆＋＝1，则以点M(－1，2)为中点的弦所在直线方程为( )
A．3x－8y＋19＝0 B．3x＋8y－13＝0
C．2x－3y＋8＝0 D．2x＋3y－4＝0
C [设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆得两式相减得＋＝0，整理得＝，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为y－2＝(x＋1)，整理得2x－3y＋8＝0.故选C.]
3．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②得
＋＝0.
又M(1，1)是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以＋＝0，所以a2＝2b2，所以e＝.]
4．椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
[设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2＜2，∴x2＜.
解得－＜x＜，∴x∈.]
5．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求m的取值范围．
[解] (1)设C：＋＝1(a＞b＞0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由条件知2b＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故椭圆C的标准方程为y2＋＝1.
(2)设l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m(k≠0)．
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
∵Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)＞0(*)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＝3，∴－x1＝3x2，∴
消去等号右边的x2，得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
∴3＋4·＝0，
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0.
当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，
由(*)式得k2>2m2－2，
由题意知点P在椭圆内，
∴m2＜1，
∴2m2－2＜0，
∴k2＞2m2－2恒成立．
∵k≠0，∴k2＝＞0，
∴－1＜m＜－或＜m＜1.
故所求m的取值范围为∪.
2.2.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(0＜e＜1)
思考：(1)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c.
(2)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆． ( )
(2)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等． ( )
(3)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为4或－. ( )
[提示] (1)× 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆．
(2)√
(3)√ 由e2＝1－；又因椭圆的焦点在x轴或在y轴
上，所以有两个值．当a＞1时，焦点在x轴上，a2＝k＋8，c2＝k－1，又e＝，所以＝，解得：k＝4；当k＜1时，焦点在y轴上，a2＝9，c2＝1－k，又e＝，所以＝，解得k＝－.
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
D [x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．]
3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝.]
由椭圆方程求椭圆的几何性质
求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[思路探究] 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．
[解] 把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
[规律方法] 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
[跟踪训练]
1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3.c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0，6)，(0，－6)，顶点坐标(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)，离心率e＝＝.
由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路探究] 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[规律方法] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数．
提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
[跟踪训练]
2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
[解] (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示] 根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．
2．a，b，c对椭圆形状有何影响？
[提示] (1)e＝＝＝.
(2)
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[思路探究] 由题设求得A、B点坐标，根据△ABC是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
[解] 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，
所以|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝×，即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
两边同除以a2得＋2－＝0，
解得e＝＝.
母题探究：1.(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
[解] 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，
设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，
则B点坐标为，∵B点在椭圆上，
∴＋＝1，解得y＝4b2－，
由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1.
2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．
[解] 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由题意知A在椭圆上，
∴＋＝1，解得e＝.
[规律方法] 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
1．若椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
A [由a＝2b＝2，b＝1得c＝，e＝＝.]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D [c＝1，由e＝＝得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.]
3．椭圆＋＝1的离心率为( )
A． B． C． D．
D [a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝＝.]
4．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.]
5．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[解] 已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．
课件40张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的几何性质(一)选修2-1x轴和y轴 (0，0) [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a]A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)2b2aF1(－c，0)，
F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c由椭圆方程求椭圆的几何性质 由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 求椭圆的离心率 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 椭圆的几何性质(二)
学习目标：1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．(重点、难点)
1．点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如下所示：
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?＋＞1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k
取何值，直线l恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交．
思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？
[提示] |AB|＝＝|y1－y2|.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(1，2)在椭圆＋＝1上． ( )
(2)直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1相交． ( )
(3)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则k＝±. ( )
[提示] (1)× (2)√ (3)√
2．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3，2)是否在椭圆上
C [(－3，2)与(3，2)关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C.]
3．经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．
[答案]
点直线与椭圆的位置关系
(1)已知点p(k，1)在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为________．
(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，
①当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
②当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长；
③求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
[解] (1)由题意知＋＞1，
解得k＜－或k＞
所以k的取值范围为∪
(2)联立消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
①∵因为直线和椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即m2≤，∴－≤m≤.
所以m的取值范围为.
②设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得5x2＋2x＝0.
由题意得Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝0，
则弦长|x1－x2|＝·
＝×＝.
(3)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于*式，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
则弦长|x1－x2|＝·
＝·.
由上式可知，当m＝0时，弦最长．此最长弦所在的直线的方程为y＝x，即x－y＝0.
[规律方法] (1)有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：
一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解．
(2)在弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|中，k为直线的斜率，在计算|x1－x2|或|y1－y2|时，一定要注意“整体代入”这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到|x1－x2|＝或|y1－y2|＝整体代入求解．
[跟踪训练]
1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且仅有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组：
消去y，得：
9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144，
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，
(3)当Δ<0，即m<－3，或m>3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.
弦长及弦中点问题
已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．
[思路探究] 利用中点公式或点差法可求解直线的斜率k.
[解] 法一：由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，
解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2，1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－
＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法三：对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2，1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x，2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
[规律方法] 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．
[跟踪训练]
2．已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[解] (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.
由
消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，不合题意．设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ＞0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为
y－2＝－(x－4)．
即x＋2y－8＝0.
椭圆中的最值(或范围)问题
[探究问题]
1．求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？
[提示] (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等．
2．弦长公式是什么？
[提示] |AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A，B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上．①求直线AB的斜率；②求△AOB面积的最大值．
[思路探究] (1)首先求出椭圆方程．(2)求出直线AB的斜率，设出直线AB的方程，求出△AOB的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值．
[解] (1)由题意得
∴∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的斜率为k，
则∴＋＝0，
∴＋·k＝0.
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0，∴k＝－1.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y－y0＝k(x－x0)，
则
∴(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－6＝0.
由题意，Δ>0，∴x1＋x2＝－，
∴x0＝－.
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0，∴－＝1，∴k＝－1.
法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋m，
则∴(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
由题意，Δ>0，∴x1＋x2＝－.
∴x0＝－(ⅰ)．
又直线OP：y＝x，M在线段OP上，
∴y0＝x0(ⅱ)，M在直线AB上，
∴y0＝kx0＋m(ⅲ)．
解(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得k＝－1.
②设直线AB的方程为y＝－x＋m，m∈(0，3)．
则∴3x2－4mx＋2m2－6＝0，
∴
∴AB＝|x1－x2|＝，
原点到直线的距离d＝.
∴S△AOB＝×·＝≤，
当且仅当m＝∈(0，3)时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为.
[规律方法] 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围．
[跟踪训练]
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈，求弦长|AB|的取值范围．
[解] (1)由已知e＝，得＝，
∵当直线垂直于x轴时，|AB|＝，
∴椭圆过点，
代入椭圆方程得＋＝1，
又a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2＞2或λ＝＝＝3－2＜，不符合题意．
∴直线的斜率不能为0.
设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根与系数的关系可得，
将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可得，＝－λ，
∴－λ－＋2＝－，
又知λ∈，∴－λ－＋2∈，
∴－≤－≤0，解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝8＝8，
∵m2∈，∴∈，
∴|AB|∈.
1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
[答案] A
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[答案] C
3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．1 D．4
C [因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，
所以c2＝3，所以右焦点坐标F(，0)，
将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故|AB|＝1.]
4．已知直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，则直线AB的方程为________．
4x＋9y－13＝0 [法一：根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得
(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝－＝1，
解得k＝－.
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M(1，1)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0.
∴kAB＝＝－.
故直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.]
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程．
[解] 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
课件68张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的几何性质(二)选修2-1相交相切相离弦长点直线与椭圆的位置关系 弦长及弦中点问题 椭圆中的最值(或范围)问题 点击右图进入…Thank you for watching !
