课时分层作业(二十八) 双曲线的标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．1 B．2
C．2 D．2
B [∵a(a－1)＜0，∴0＜a＜1，方程化为标准方程为－＝1，∴c2＝a＋1－a＝1，∴焦距2c＝2.]
2．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3或5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
D [依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．故选D.]
3．下列各选项中，与－＝1共焦点的双曲线是( )
A．＋＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．＋＝1
C [法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B.
法二：与－＝1共焦点的双曲线方程为－＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．故选C.]
4．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A．－y2＝1 B．－x2＝1
C．－y2＝1 D．－＝1
A [依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得
故双曲线标准方程为－y2＝1.]
5．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
A [设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．]
6．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
2或22 [设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.]
7．已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]
8．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
44 [由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5，0)在线段PQ上，
∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知
∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.]
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)．
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
[解] (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
[能力提升练]
1．若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A．4 B．12 C．4或12 D．6
C [由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4，0)，右焦点为F2(4，0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.]
2．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
C [由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S＝|PF1|×|PF2|＝24.]
3．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为________．
－＝1 [法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.
法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1.]
4．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是________．
b－a [如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
则|PF|－|PF1|＝2a，
在Rt△FTO中，|OF|＝c，
|OT|＝a，所以|FT|＝＝＝b，又M是线段PF的中点，O为FF1中点，
所以|PF|＝2|MF|＝2(|MT|＋b)，
所以|MO|＝|PF1|＝(|PF|－2a)
＝(2|MT|＋2b－2a)＝|MT|＋b－a，即|MO|－|MT|＝b－a.]
5．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积．
[解] (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝，故设双曲线方程为－＝1，则
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为点M在双曲线上，又|MF1|＝2|MF2|，
所以点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，
cos∠F1MF2＝＝，
所以sin∠F1MF2＝，
所以S＝|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2＝
×4×2×＝2.
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
学习目标：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．双曲线的定义
2．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式
c2＝a2＋b2
思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
[提示] 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？
[提示] 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( )
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b. ( )
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b. ( )
[提示] (1)× 差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．
(2)× a与b大小关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线．
(3)×
2．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
D [解a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D.]
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．
－＝1或－＝1 [b2＝c2－a2＝49－25＝24，
∴双曲线方程为－＝1或－＝1.]
双曲线定义的应用
[探究问题]
1．如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？
[提示] ①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；
②若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；
③若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．若|MF1|－|MF2|＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？
[提示] (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．
设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
①若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
②若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可．
[解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得
|PF1|－|PF2|＝－6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝16.
母题探究：1.(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．
[解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|PF1|－|PF2|＝±6，
∴|PF2|＝10±6，
∴点P到焦点F2的距离为4或16.
2．(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．
[解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，
由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
可设|PF1|＝2k，|PF2|＝5k.
由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝10，
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝，
∴sin∠F1PF2＝，
S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×4×10×＝8.
[规律方法] 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
(1)定义：|r1－r2|＝2a.
(2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ.
(3)面积公式：S＝r1r2sin θ.
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．
[思路探究] 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[规律方法]
1．求双曲线标准方程的两个关注点
2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．
②设方程：根据焦点位置，设其方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
④得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．
提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．
[跟踪训练]
1．根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上；
(2)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，)．
[解] (1)设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．∴b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3，)，∴－＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
与双曲线有关的轨迹问题
如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0).
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为－＝1(x＞)．
[规律方法] 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[跟踪训练]
2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
1．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
A．2 B．4 C．8 D．12
B [双曲线中a2＝16，a＝4，2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，
所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.]
2．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．]
3．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
C [由题意，方程可化为－＝3，
∴解得：m＜－2.]
4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
－＝1(x≥2) [设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.
相减得|MC1|－|MC2|＝4.
又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3.
所以b2＝5，所求的轨迹方程为－＝1(x≥2)．]
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
[解] (1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线过P，Q，
∴解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1.
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
课件47张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程选修2-1距离的差的绝对值 定点F1,F2 两焦点间双曲线定义的应用 求双曲线的标准方程 与双曲线有关的轨迹问题 点击右图进入…Thank you for watching !
