课时分层作业(二十九) 双曲线的几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A． B．5 C． D．2
A [由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.]
2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
A [由已知得椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.]
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为 ( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
A [由题意知e1＝，e2＝，
∴e1·e2＝·＝＝.
又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，
∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－，即1－＝，
解得＝±，∴＝.
令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.]
4．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
A [因为m2－1＝c2，n2＋1＝c2，所以m2－n2＝2，故m＞n，又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋＞1，所以e1e2＞1.]
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
A [由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，
即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.故选A.]
6．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]
7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．
－＝1 [椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，
∴c＝4，e＝，
∴双曲线的离心率等于－＝2，
∴＝2，∴a＝2.
∴b2＝42－22＝12.
∴双曲线的方程为－＝1.]
8．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________．
4 [由题意得a2＝1，b2＝3，所以c＝2，故F(2，0)，从而l：x＝2，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以直线l与渐近线交于(2，±2)，因此，S＝×2×4＝4.]
9．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
[解] 双曲线方程可化为－＝1，
c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.
∴F2(2，0)，又l的斜率为1.
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－＜0，
∴A、B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝·＝6.
10．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
())求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解] (1)∵e＝2，∴c2＝4a2.
∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．
∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，
∴|AB|＝10，
∴＝10，
即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.
∵y1＝x1，y2＝－x2，
x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，
y1－y2＝(x1＋x2)，
∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，
代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，
得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.
[能力提升练]
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线3x＋y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )
A．1 B．2 C． D．2
D [由直线垂直的条件，可得·＝－1，所以＝，由点F(c，0)到渐近线y＝x的距离d＝＝，可得c＝，2c＝2.]
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．3
B [不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1
|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，所以·＝ab，
解得＝(负值舍去),
故e＝＝＝＝＝.]
3．已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，则此双曲线的方程为________．
x2－y2＝2 [设此双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a，0)，(－a，0)，∴＝，∴a＝，∴此双曲线的方程为x2－y2＝2.]
4．双曲线－＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是≤e≤.故填.]
5．若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
[解] (1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1＜k＜.
故k的取值范围是{k|1＜k＜}．
(2)由(*)式得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝，又1＜k＜，∴k＝，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m，8m)．
∵点C是双曲线上一点，
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质图形
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
性质
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？
[提示] e＝＝＝.
思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
[提示] 有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
2．等轴双曲线
实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. ( )
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. ( )
(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a＞0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线). ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√
2．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
A [由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.]
3．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
C [∵e＝＝，F2(5，0)，
∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.]
4．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为______．
或 [若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.
若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4.
∴＝，＝，即＝.
∴e2＝，故e＝，
即双曲线的离心率是或.]
已知双曲线的标准方程求其简单几何性质
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[解] 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n>0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
[规律方法] 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[跟踪训练]
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
由双曲线的几何性质确定标准方程
求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
[思路探究] →→
→
[解] (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，
∴b＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，
∴b＝2.
∴所求双曲线方程为－＝1.
法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[规律方法]
1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
2．巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)，
④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．
[跟踪训练]
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝. ①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝. ③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解] 由
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①
(1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．
∴
解得∪∪.
(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±，故k的值为±1或±.
(3)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴
解得k>或k<－，
则k的取值范围为∪.
[规律方法] 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断．
①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点．
当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离．
通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角)．
如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；
如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；
如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个．
[跟踪训练]
3．(1)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点．
①求双曲线的离心率e的取值范围；
②设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
(2)已知过点P(1，1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值．
[解] (1)①由
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，(*)
由题意得得0＜a＜且a≠1.又双曲线的离心率
e＝＝，
∴e＞且e≠.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)，
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
故x1＝x2.
又x1，x2是方程(*)的两个根，
∴x2＝－，x＝－.
又a＞0，∴a＝.
(2)设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得
(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝.
综上可得，直线l的斜率k的取值为或±2.
与双曲线有关的综合问题
[探究问题]
1．直线与双曲线的弦长问题，应如何解答？
[提示] 设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求．
2．直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？
[提示] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.
斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求l的方程．
[思路探究] 设出直线方程，与双曲线联立消元后利用弦长公式求解．
[解] 设直线l的方程为y＝2x＋b与－＝1联立
消y得10x2＋12bx＋3b2＋6＝0
设直线l与双曲线－＝0的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根与系数的关系得
∴|AB|＝·
＝＝＝
解得b＝±.
∴直线l的方程为y＝2x±.
母题探究：1.(变换条件)求斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交时，其弦中点的轨迹方程．
[解] 设直线l与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x0，y0)，则x0＝，y0＝，
则
两式相减得·＝.
即＝.
所以弦中点的轨迹方程为x－3y＝0.
2．(变换条件)若直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3，1)为中点的直线l的方程．
[解] 设直线l与双曲线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
由两式相减得·＝，
∴直线l的斜率k＝2，
∴直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
[规律方法]
1．求弦长的两种方法
①距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
②弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
2．中点弦问题
与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．
提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
1．若0
A．相同的实轴 B．相同的虚轴
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
C [∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.]
2．已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
C [ 由题意得b2＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.]
3．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
B [设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵△MF1F2为等腰三角形，∠F1MF2＝120°，
∴∠MF1F2＝30°，∴tan 30°＝＝，＝，
＝1－＝，＝，∴e＝.]
4．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
－＝1 [依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.]
5．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且·＝－6，求双曲线的方程．
[解] 法一：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则过F且与其垂直的直线方程为y＝－(x－2)．
由可得点P的坐标为.
∴＝，
·＝(2，0)·＝－6.
解得a2＝2，∴b2＝c2－a2＝(2)2－2＝6，∴双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∵点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为
∴＝，＝(2，0)．
由·＝－6得2(x－2)＝－6，即x＝.
又由·＝0，得x(x－2)＋＝0，
代入x＝，得＝3.
而a2＋b2＝(2)2＝8，∴a2＝2，b2＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
课件68张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的几何性质选修2-1(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)2cx≤－ax≥aRy≤－ay≥aR坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22aB1B22bab(1，＋∞)相等已知双曲线的标准方程求其简单几何性质 由双曲线的几何性质确定标准方程 直线与双曲线的位置关系 与双曲线有关的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !