课时分层作业(三十) 抛物线的标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
D [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.]
2．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
A [直线方程可化为a(x＋2)－x－y＋1＝0，由，得P(－2，3)，经检验知A正确．]
3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p B．5p
C．6p D．8p
A [设抛物线的焦点为F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p.]
4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
B [如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(40，30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625 (cm)．]
5．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是( )
A．x2＝2y B．x2＝y
C．x2＝y D．x2＝y
A [由题意，得F，不妨设A，B(－p，－)，∴S△FAB＝×2p×p＝1，∴p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A.]
6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
6 [因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.]
7．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
±4 [由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.]
8．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．
x＝－ [抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝x(a≠0)．①当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为x＝－.②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝－.故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是，准线方程都为x＝－.]
9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
[解] 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为，(1，0)，点到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.1 m)?
[解] 如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，代入方程解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆的高为h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.
[能力提升练]
1．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．位置由F确定
B [如图，抛物线的焦点为F，M为PF的中点，准线是l：x＝－.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝，作MN⊥y轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|＝(|OF|＋|PQ|)＝|PH|＝|PF|，故以PF为直径的圆与y轴相切．]
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影为M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A． B．4
C． D．5
C [设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F，又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，所以|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.]
3．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为________．
y2＝4x [如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，∴＝，即＝，p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.]
4．若抛物线y2＝4x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线x＋y－3＝0的上方，则点P的坐标为________．
(4，4) [设P点的坐标为(x，y)，
由已知得＝1，|PF|＝x＋＝5.
故x＝4，
因为点P在直线x＋y－3＝0的上方．
所以点P的坐标为(4，4)．]
5．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
[解] (1)如图，
易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，
得y＝±2.
因为2＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.
此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
学习目标：1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)
1．抛物线的定义
思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
x＝－
y2＝－2px(p＞0)
x＝
x2＝2py(p＞0)
y＝－
x2＝－2py(p＞0)
y＝
思考2：抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？
[提示] 焦点到准线的距离．
思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
[提示] 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．. ( )
(2)抛物线x2＝－20y的焦点到准线的距离是10. ( )
(3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝. ( )
[提示] (1)× 不一定．当F在l上时是过F且垂直于l的一条直线．
(2)√ (3)√
2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，1)
C．(2，0) D．(1，0)
D [∵y2＝4x，∴焦点F(1，0)．]
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[思路探究] →→→
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为
y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
[规律方法] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
[跟踪训练]
1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
[解] (1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
抛物线定义的应用
[探究问题]
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？
[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线.
2．如何通过抛物线定义实现距离转化？
[提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？
[提示] 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
[思路探究] 把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x＝－的距离相等，从而利用抛物线定义求解．
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，
所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
母题探究：1.(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
[解] 设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即＋y＝4 ①，又由典例的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故y＝2x0 ②，
由①②可得或
故点N的坐标为或.
2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
[解] 如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，
最小值为3＋＝.
这时点M的纵坐标为2，可设M(x0，2)，
代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．
[规律方法] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.
与抛物线有关的应用问题
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[思路探究] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．
[解] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航．
[规律方法] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
[跟踪训练]
2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
∵拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，
∴A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p(－2)，∴p＝25，
∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28 m，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，
而船体高为5 m，∴无法通行．
又∵5－4.72＝0.28 m，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(t)，
即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A． B．－ C．8 D．－8
B [由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.]
2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0)
C [∵点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.]
3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
B [设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，
过M作MN⊥l于N(l是抛物线的准线x＝－)，连MF.根据抛物线定义，
|MN|＝|MF|＝a，
∴x0＋＝a，
∴x0＝a－，所以选B.]
4．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
[y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.]
5．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
[解] ∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x，6)，
∴62＝2px. ①
∵点M到准线的距离为10，
∴x＋＝10. ②
由①②解得或
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x，当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
课件48张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程选修2-1相等 定点F 定直线l 求抛物线的标准方程 抛物线定义的应用 与抛物线有关的应用问题 点击右图进入…Thank you for watching !
