课时分层作业(三十一) 抛物线的几何性质(一)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
C [依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程为x2＝±12y.]
2．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
C [双曲线的方程可化为－＝1，
∴双曲线的左焦点为.
又∵抛物线的准线为x＝－，
由题意－＝－，解得p＝4.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
B [∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]
4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
B [由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p，2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.]
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A．－4 B．4 C．p2 D．－p2
A [①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，∴x1x2＝；
∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，
∴＝－4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴，
可设AB的直线方程为y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.∴y1y2＝－p2.
故＝－4.]
6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
6 [由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.]
7．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
x－y－1＝0 [依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．
y2＝5x [线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，
与x轴的交点为，
∴抛物线的焦点为，
∴其标准方程是y2＝5x.]
9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
[解] 依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由消去y，得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.
∴所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为.
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝
＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[能力提升练]
1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是 ( )
A． B． C． D．25
A [抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l的方程为y＝(x－2)，由得B点的坐标为.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.]
2．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
B [抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，
∴椭圆中c＝2.
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
故选B.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．
[由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
∴x1＝2，y1＝2.
设AB的方程为x－1＝ty，
由消去x得y2－4ty－4＝0.
∴y1y2＝－4.∴y2＝－，x2＝，
∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.]
4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
y2＝3x [如图，分别过点A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：
|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，则p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.]
5．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[解] (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
课时分层作业(三十二) 抛物线的几何性质(二)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A．2 B． C．4 D．2
C [设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.]
2．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )
A．x2＝y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
D [设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]
3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.]
4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )
A． B．2 C． D．4
C [易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点，∴|AB|为焦点弦．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点N，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴＝.
∴AB中点到直线x＋＝0的距离为＋＝.]
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为( )
A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3x
C．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6x
A [设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或m＝－.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.]
6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝______．
－ [由得ax2－x－1＝0.
令Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.]
7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
又|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.]
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．
y＝x [∵焦点F为(1，0)，∴抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，两式相减得y－y＝4(x2－x1)．整理得＝，由于kAB＝，而AB中点为(2，2)，所以y2＋y1＝4，于是kAB＝＝1，因此直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.]
9．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的值；
(2)求证：·是一个定值．
[解] (1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，
∴直线l的方程为y＝x－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
∴·是一个定值．
10．已知平面内一动点P(x，y)(x≥0)到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值.
[解] (1)∵平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x＝－1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x(x≥0)．
∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)．
(2)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，
过点F的直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x，可得y2－4my－4＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴S△AOB＝|y1－y2|＝
＝，
∴当m＝0时，△AOB的面积最小，最小值为2.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A． B． C．1 D．2
D [由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，
过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1(图略)，则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6，
∴2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.]
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于( )
A．3 B．4 C．3 D．4
C [因为A，B关于直线x＋y＝0对称，所以可设AB：y＝x＋m，由得x2＋x＋m－3＝0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝－＋m.又因为M在直线x＋y＝0上，所以－－＋m＝0，即m＝1，所以方程①可化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2，y1＝2，y2＝－1，所以|AB|＝＝3.]
3．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________．
2 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
由题意得
∴即k＝2.]
4．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．
(2，＋∞) [设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，
代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，
Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.]
5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.
方程(*)的两根为y1，2＝－p±，
从而y0＝＝－p.
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.
因此，p的取值范围是.
2.4.2 抛物线的几何性质(一)
学习目标：1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
思考：参数p对抛物线开口大小有何影响？
[提示] 参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
2．焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )
(2)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. ( )
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a. ( )
[提示] (1)× 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)√ (3)√
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
D [顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.]
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|
D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2
C [由抛物线定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，
∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，
故选C.]
由抛物线的几何性质求标准方程
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[思路探究] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．
[解] 椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
[规律方法] 用待定系数法求抛物线方程的步骤
[跟踪训练]
1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解] 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
抛物线几何性质的应用
已知抛物线y2＝8x，
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围．
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
[思路探究] (1)利用抛物线对应性质的公式求解；
(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解．
[解] (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝|OM|.
因为F(2，0)，所以|OM|＝|OF|＝3，
所以M(3，0)，故设A(3，m)．
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
[规律方法] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
[跟踪训练]
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
[解] 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.∴|AB|＝2y1＝4p.
焦点弦问题
[探究问题]
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：
问题1：过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？
[提示] (1)|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
(4)S△AOB＝.
(5)＋＝(定值)．
(6)∠A1FB1＝90°.
问题2：以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？
[提示] 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)
焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
所以以AB为直径的圆必与准线l相切．
已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．
[解] ∵过焦点的弦长|AB|＝p
∴弦所在的直线的斜率存在且不为零
设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵y2＝2px的焦点为F.
∴直线方程为y＝k.
由整理得
k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，
∴x1＋x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，
又|AB|＝p，
∴＋p＝p，∴k＝±2.
∴所求直线方程为y＝2或y＝－2.
母题探究：1.(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
[解] 设AB中点为M(x0，y0)，
由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p，
所以AB的中点M到y轴的距离为p.
2．(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.
[解] 由例题解析可知AB的方程为y＝k，
即x＝y＋，代入y2＝2px消x可得y2＝y＋p2，即y2－y－p2＝0，∴y1y2＝－p2，
由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得kA1F＝－，kB1F＝－.
∴kA1F·kB1F＝＝－1，
∴∠A1FB1＝90°.
[规律方法] 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
A [∵抛物线的方程为y2＝8x，
∴其准线l的方程为x＝－2，
设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，
即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，
∵点P到y轴的距离是6，
∴x0＝6，
∴|PF|＝6＋2＝8.]
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2，4) D．(2，±4)
D [抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，
设P(x，y)符合题意，则有
??
所以符合题意的点为(2，±4)．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2)
B [由题意知F(1，0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是C上一点，若P在第一象限，|PF|＝8，则点P的坐标为________．
(6，4) [抛物线的焦点为F(2，0)，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6，所以y0＝＝4，即P(6，4)．]
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，求线段AB的中点到y轴的距离
[解] 如图，l：x＝－为抛物线y2＝x的准线，作AC⊥l于C，BD⊥l于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝3，
即x1＋x2＝，所以＝，即线段AB的中点到y轴的距离为.
课件43张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质(一)选修2-1(0，0)1由抛物线的几何性质求标准方程 抛物线几何性质的应用 焦点弦问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.4.2 抛物线的几何性质(二)
学习目标：1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题．
直线与抛物线的位置关系及判定
位置关系
公共点
判定方法
相交
有两个或一个公共点
k＝0或
联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ
相切
有且只有一个公共点
Δ＝0
相离
无公共点
Δ＜0
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． ( )
(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点． ( )
(3)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条． ( )
[提示] (1)× 过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点．
(2)√ (3)√
2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
C [由点A(－2，3)在y2＝2px的准线x＝－上得p＝4，∴F(2，0)，∴kAF＝－，故选C.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________．
8 [|AB|＝2＝2(3＋1)＝8.]
直线与抛物线的位置关系
已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
[解] 由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组(*)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.
把y＝1代入y2＝4x，得x＝.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，
解得k＝－1，或k＝.
于是，当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
②由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，
解得k<－1，或k>.
于是，当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
综上，我们可得
当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1，或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
[规律方法] 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
[跟踪训练]
1．如图所示，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
[证明] 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，
得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.
∴直线BC的斜率为定值.
与抛物线有关的中点弦问题
[探究问题]
对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？
[提示] (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程．
[思路探究] 用“点差法”．
[解] (1)由E的焦点为(1，0)，
可设抛物线方程为y2＝2px，
且＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由M(2，1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.
由A，B为抛物线上不同两点得
①－②得k＝＝2，
∴直线AB方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
母题探究：1.(变换条件)若本例中条件“线段AB恰被M(2，1)所平分”改为“线段AB恰被M(1，1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由．
[解] 由抛物线的焦点为(1，0)，所以＝1，p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
假设AB斜率存在，即AB不垂直于x轴，
故可设AB所在直线的方程为
y－1＝k(x－1)(k≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x整理得
ky2－4y＋4－4k＝0，
Δ＝16－4k(4－4k)>0恒成立，
又由根与系数的关系得y1＋y2＝，
根据M为AB的中点，所以＝2，k＝2，
所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
2．(变换条件、改变问法)若动点P在抛物线E上移动，求线段PM中点的轨迹方程．
[解] 设P(x0，y0)，PM中点的坐标为(x，y)，
由中点坐标公式得即
∵p在抛物线y2＝4x上，
∴PM中点的轨迹方程为(2y－1)2＝8(x－1)．
[规律方法] 解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)．线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0)．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
抛物线的综合运用
如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
[思路探究] 解决本题的关键是弦AB为定值，将点P到直线AB的距离的最值问题转化为二次函数问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围．
[解] 由解得或
由题图可知A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则：
d＝＝＝|(y0－1)2－9|.
∵－2＜y0＜4，∴(y0－1)2－9＜0.
∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，
Smax＝××3＝.
因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
[规律方法] 应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
[跟踪训练]
2．如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)求证动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，求证|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
[证明] (1)依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1x2＝－8.
直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2.
可得交点D的坐标为，
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，
则有y＝＝＝－2.
因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上．
(2)依题意得切线l的斜率存在且不等于0，
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，
代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0.
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为：
N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
1．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A． B．2 C． D．15
A [令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C． D．
A [∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，
∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，
所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离
＝2，故选A.]
3．已知点A(4，0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．
(1，±) [设M，
则|MA|2＝＋y
＝y－y＋16＝(y－6)2＋15≥15，
当且仅当y＝6，即y1＝±，x1＝＝1时，|MA|取最小值，此时M(1，±)．]
4．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．
2 [由，得x2－2x－2b＝0，
Δ＝(－2)2＋8b＞0，
设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
b＝2适合Δ>0.]
5．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
[解] (1)证明：联立，
消去x，得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
因为y＝－x1，y＝－x2，
所以(y1·y2)2＝x1·x2，
所以x1·x2＝1，
所以x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1，0)，
所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1×＝，
解得k2＝，所以k＝±.
课件53张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质(二)选修2-1有两个或一个有且只有一个无直线与抛物线的位置关系 与抛物线有关的中点弦问题 抛物线的综合运用 点击右图进入…Thank you for watching !
