课时分层作业(三十五) 空间向量的基本定理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
④若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③正确；
④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．]
2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a B．b C．c D．无法确定
C [∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，
∵b＝p－q，∴b与p、q共面，
∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于( )
A．a－b＋c
B．－a＋b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
B [＝－＝(＋)－
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
所以应选B.]
4．设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A． B．
C． D．
A [连接AG1交BC于E，则E为BC中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝
＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴OG＝OG1，
∴＝＝(＋)
＝(＋－＋)
＝＋＋，故选A.]
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] A
6．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一直线上，则与不是共线向量；
③若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．
①④ [①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.]
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得]
8．如图所示，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
[＝－＝－， 所以有序实数组(x，y，z)＝.]
9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设，，共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
所以e1，e2，e3不共面，
所以此方程组无解．
即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
所以，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
10．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(4)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
[能力提升练]
1.如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则＋＋的化简结果为( )
A． B．
C． D．
A [∵G是△BCD的重心，
∴||＝||，∴＝.又＝，
∴＋＝＋＝，＋＝，
从而＋＋＝.]
2．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
B [＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．]
3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
0 [∵A、B、C三点共线．
∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，所以λ＋m＋n＝0.]
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝2.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示为________．
－a＋b＋c [如图所示，连接AN，
则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋(－)－(＋)
＝c＋(b－c)－(a＋b)
＝－a＋b＋c.]
5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解] (1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)因为＝－
＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－＋＋.
所以x＝－1，y＝1，z＝.
所以x＋y＋z＝.
3.1.2 空间向量的基本定理
学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
1．共线向量定理与共面向量定理
(1)共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb．
(2)向量共面的条件
①向量a平行于平面α的定义
已知向量a，作＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α．
②共面向量的定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
③共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb．
2．空间向量分解定理
(1)空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
(2)基底
如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ( )
(2)若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)． ( )
[提示] (1)× 表示这三个向量的有向线段平行于同一平面．
(2)× 与e1，e2共面的任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．
2．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [只有②为真命题．]
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝，则x，y，z满足的条件是________．
x＝y＝z＝0 [若x≠0，则a＝－b＋c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.]
向量共线问题
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.
∴E，F，B三点共线．
[规律方法] 判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.
[跟踪训练]
1．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝，＝.利用向量法求证四边形EFGH是梯形．
[证明] ∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴＝，＝，
＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝，∴∥且||＝||≠||，又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.
共面向量定理及应用
对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．
试证：与、共面．
[思路探究] →→
→→
[解] 空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，
则＝＋＋，
＝＋＋. ①
又E、F分别是AB、CD的中点，故有＝－，
＝－， ②
将②代入①中，两式相加得2＝＋.
所以＝＋，即与、共面．
[规律方法] 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
[跟踪训练]
2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
[证明] ∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
∴M、N、Q、R为所在边的中点，
顺次连接M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝.
∵MNQR为平行四边形，
∴＝－＝－＝＝(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋
＝＋.
∴由共面向量定理得，，共面，所以E、F、G、H四点共面.
基底的判断及应用
[探究问题]
1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？
[提示] 不唯一，不共面．
2．怎样理解空间向量基本定理？
[提示] (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．
(3)拓展：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
(1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
(2)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
[思路探究] (1)判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．
[解] (1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．
则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
(2)＝＋＝＋
＝＋(＋)＝＋＋(－)
＝b＋a＋(c－b)
＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c.
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋(－)
＝a＋b＋(c－b)
＝a＋b＋c.
母题探究：1.(变换条件)若把本例3(2)中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
[解] ＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝b＋(a－b)
＝a＋b.
＝＋
＝＋
＝－
＝－(－)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c.
2.(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量.
[解] ＝＋＋
＝－－
＝(＋)－－
＝[＋(－)]－－
＝(a＋c－b)－c－a
＝a－b－c.
[规律方法] 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由、、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d≠kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a、b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．]
2．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( )
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝－＋＋
D．以上皆错
B [法一：∵＋＋＝1，∴选B.
法二：∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，∴P、A、B、C共面．]
3．已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
D [由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)
＝(＋)
＝＋(＋)＝＋＋.]
4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为________．
[因为点M在平面ABC中，即M、A、B、C四点共面，所以x＋＋＝1，即x＝.]
5．如图所示，在空间四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
[解] 取AC中点为G.
连接EG，FG，
∴＝，＝，
∴＝＋
＝＋
＝(＋)．
∴与＋共线．
课件50张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的基本定理选修2-1b≠0存在唯一的实数xa＝xb平行于平面α或在α内a∥α同一平面不共线存在唯一的一对实数x，yc＝xa＋yb不共面存在一个唯一的有序实数组x，y，z p＝xa＋yb＋zc不共面的向量xa＋yb＋zc基底{a，b，c}基向量线性表示式线性组合向量共线问题 共面向量定理及应用 基底的判断及应用 点击右图进入…Thank you for watching !
