课时分层作业(三十九) 平面的法向量与平面的向量表示
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
D [∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，
∴λ＝－4.]
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10 B．－10 C． D．－
B [因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.]
3．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为( )
A．a＝(－1，2，－2) B．a＝
C．a＝ D．a＝
C [设平面的法向量为a＝(x，y，z)，
则有∴，
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝
故平面ABC的一个单位法向量为a＝.]
4．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
D [因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.]
5．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
C [连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．故选C.]
6．已知l∥α，且l的方向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
[∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，∴y＝.]
7．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
2∶3∶(－4) [由题意，知＝，＝.由于a为平面α的法向量，所以a·＝0，a·＝0，即，所以，所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.
其中正确的是________(填序号)．
①②③ [·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．]
9.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
[证明] 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，
即AO⊥BD.
由三垂线定理，得PA⊥BD.
10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[解] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，
＝(－a，－a，0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴⊥，
即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)．
∴
即
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝.
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴n1·n2＝2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
[能力提升练]
1．已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A． B．
C． D．
D [＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵∴
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)，
单位法向量为±＝±.]
2．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点中，在平面α内的是( )
A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0) D．P(3，－4，4)
A [设平面α内一点p(x，y，z)，
则＝(x－1，y＋1，z－2)．
∵n＝(6，－3，6)是平面α的法向量，
∴n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21，
∴由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0，
∴2x－y＋2z＝7.
把各选项的坐标代入上式可知A选项适合．]
3．如图所示，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________．
垂直 [∵O为△ABC的垂心，
∴CO⊥AB.
又∵OC为PC在平面ABC内的射影，
∴由三垂线定理知AB⊥PC.]
4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
α⊥β α∥β [∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2，2，5)，
当v＝(3，－2，2)时，u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，即α⊥β，
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，∴u∥v，即α∥β.]
5．如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
(1)＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，
所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝.
又因为＝(－4，－5，0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0，3，4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM∩BC＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又因为AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
学习目标：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点).2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点).3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)
1．平面的法向量及其应用
(1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．
(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合?n1∥n2；α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0．
思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？
[提示] 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．
2．三垂线定理及其逆定理：
(1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．
②图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．
(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量． ( )
(2)若直线l是平面α外的一条直线；直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直． ( )
(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ( )
[提示] (1)× 不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．
(2)× 不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l的结论．
(3)√
2．设平面α的法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于( )
A．2 B．－4 C．4 D．－2
C [因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.]
3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为( )
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
C [显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2，1，1)．]
求平面的法向量
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
[规律方法] 利用待定系数法求法向量的解题步骤
[跟踪训练]
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．
[解] 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB.
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)．
由题意得F(0，0，0)，P，D，C，E.
所以＝，＝.
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．
则即
所以令y＝2，则x＝，z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2).
利用法向量证明空间中的位置关系
[探究问题]
1．平面的法向量有何特点？
[提示] 设向量n是平面α的一个法向量．则：
(1)n是一个非零向量．
(2)向量n与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．
2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则
位置关系
向量关系
向量运算关系
坐标关系
l⊥m
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α
a∥u
a＝λu，λ∈R
a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3
α⊥β
u⊥v
u·v＝0
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路探究] 建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
[解] (1)以D为原点，向量、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，M，＝(1，0，0)，＝，＝.
设平面ADE的法向量为
m＝(a，b，c)，
则?
令c＝2，得m＝(0，－1，2)，
∵m·＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0，
∴⊥m.
又C1M?平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，
得＝(1，0，0)，＝，
设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令y＝2，则n＝(0，2，1)．
∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
母题探究：1.(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．
[解] 如本例解析题，D1(0，0，1)，E，
所以＝，即直线D1E的一个方向向量．
设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，
因为F，所以＝，＝(0，－1，0)，
由即
所以令x＝1，则z＝2.
所以平面EFM的一个法向量为(1，0，2)．
2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC.
[证明] 如本例解析图，E，N，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)．
∴＝，＝(0，1，1)，
＝(－1，1，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC.
又AB1∩AC＝A，
∴EN⊥平面B1AC.
[规律方法] 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.
三垂线定理及逆定理的应用
如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，
求证：OQ⊥平面PBC.
[证明] 如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.
∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，
∴PE⊥BC(三垂线定理的逆定理)，
∴点Q在PE上．
∵?BC⊥平面PAE?BC⊥OQ.①
连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.
连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.
连接MF.
∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥PC(三垂线定理)．
∵?PC⊥平面BMF?PC⊥OQ.②
由①②，知OQ⊥平面PBC.
[规律方法] 利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理．
[跟踪训练]
2．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M.
[证明] 连接AC1，∵＝＝，＝＝，
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C1，
∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，
∴A1M⊥AC1.
∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴B1C1⊥CC1.
又∵B1C1⊥A1C1，A1C1 ∩CC1＝C1，
∴B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理知，AB1⊥A1M.
1．直线l的方向向量s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为( )
A．－2 B．－ C． D．±
D [线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.]
2．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，则下列结论正确的是( )
A．s＝(－1，0，2)，n＝(1，0，－1)
B．s＝(－1，0，1)，n＝(1，2，－1)
C．s＝(－1，1，1)，n＝(1，2，－1)
D．s＝(－1，1，1)，n＝(－2，2，2)
C [直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项C中s·n＝0，故选C.]
3．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]
4．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
平行 [＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，所以n·＝0，n·＝0，所以n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量．又因为α与β不重合，所以α∥β.]
5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
求证：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系．
D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
所以＝.
又＝(a，0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，＝，所以·＝0＋－＝0，所以⊥，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
课件55张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.2 空间向量在立体几何中的应用
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示选修2-1垂直垂线正射影所有的点射影一条直线射影垂直一条直线一条斜线垂直求平面的法向量 利用法向量证明空间中的位置关系 三垂线定理及逆定理的应用 点击右图进入…Thank you for watching !
