第二十一章 一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程（公式法）
精选练习
单选题（共10小题)
1．已知关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根
3．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（）
A． B．
C． D．
5．（2019·新疆中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．（2019·河南中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）关于的一元二次方程 无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·湖南广益实验中学初二期中）方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的个数
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（2019·河南省实验中学初二期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题)
11．（2019·湖南中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．
12．（2019·山东中考真题）一元二次方程的解是______．
13．（2019·宁夏中考真题）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_____．
14．（2019·吉林中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．
15．（2019·山东中考真题）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．
解答题（共2小题)
16．（2019·上海市西延安中学初二期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，求的取值范围.
17．（2018·周南实验中学初二期中）已知 x 2 是方程 mx 6 0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x 的值。
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程（公式法）
精选练习答案
一、单选题（共10小题)
1．已知关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2．（2019·山东初二期末）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根
【答案】C
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=8＞0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵在方程x2+2x-1=0中，△=22-4×1×（-1）=8＞0，
∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
【答案】C
【解析】由于关于x的方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根a、B，则判别式△≥0，由此可以确定m的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围.
【详解】解：∵a=1，b=-2（1-m），c= m2，
故答案为C
【点评】本题考查了根式与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
4．（2019·北京初二期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据已知得出22-4×1×k＞0，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．
【详解】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴22-4×1×k＞0，
解得：k＜1，
在数轴上表示为：，
故选B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．（2019·新疆中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选：D．
【点评】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
6．（2019·河南中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
7．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）关于的一元二次方程 无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选D.
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．（2018·湖南广益实验中学初二期中）方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的个数
【答案】B
【解析】计算方程根的判别式，然后由判别式的正负判断方程根的情况.
【详解】解：方程中的a=1，b=，c=1，
∵＜0，
∴原方程没有实数根.
故选B.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识，在具体运用时，一是要明确方程a、b、c的具体数值，二是熟知△＞0方程有两个不相等的实数根，△=0方程有两个相等的实数根，△＜0方程没有实数根.
9．（2019·辽宁初二期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得 进而计算k的范围即可.
【详解】解：根据一元二次方程有两个不相等的实数根
可得
计算可得
又根据要使方程为一元二次方程，则必须
所以可得：且
故选D.
【点评】本题主要考查根与系数的关系，根据一元二次方程有两个不相等的实根可得， ；有两个相等的实根则 ，在实数范围内无根，则 .
10．（2019·河南省实验中学初二期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：A、x2+6x+9=0
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x
x2-x=0
△=（-1）2-4×1×0=1＞0
两个不相等实数根；
C、x2+3=2x
x2-2x+3=0
△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D、（x-1）2+1=0
（x-1）2=-1，
则方程无实根；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
(
提升篇
)
二、填空题（共5小题)
11．（2019·湖南中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．
【答案】0
【解析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；
【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=4，
∴
故答案为：0
【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
12．（2019·山东中考真题）一元二次方程的解是______．
【答案】，
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
【详解】，
，
则，
故，
解得：，．
故答案为，．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
13．（2019·宁夏中考真题）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_____．
【答案】．
【解析】方程有两个不相等的实数根，则，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
14．（2019·吉林中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．
【答案】5（答案不唯一，只有即可）
【解析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0，
∵△=36-4（9-c）=4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式?=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当?<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围．
15．（2019·山东中考真题）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．
【答案】且
【解析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是 即可进行解答
【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根
得，
解得
则且
故答案为且
【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
三、解答题（共2小题)
16．（2019·上海市西延安中学初二期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，求的取值范围.
【答案】且.
【解析】首先根据已知条件可得根的判别式大于等于0，且，解得即为的取值范围.
【详解】解：由已知条件，得
，且
解得且.
【点评】此题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数，熟练运用，即可解题.
17．（2018·周南实验中学初二期中）已知 x 2 是方程 mx 6 0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x 的值。
【答案】m=-1；方程另一个根是3.
【解析】把x=-2代入方程求出m，把的值代入方程，解一元二次方程求出方程的另一个根即可．
【详解】解：由题意得：（-2）2+（-2）×m-6=0，
解得m=-1
当m=-1时，方程为x2-x-6=0，
解得：x1=-2???x2=3
所以方程的另一根x2=3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
