第二十一章 一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）
精选练习
单选题（共10小题)
1．（2018·洛阳华洋国际学校初三月考）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2019·马鞍山秀山实验学校初二期末）方程 x2 x 的解是（ ）
A．x 1 B．x1 1 ， x2 0
C．x 0 D．x1 1 ， x2 0
3．（2018·湖南师大附中梅溪湖中学初二期中）一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．
4．（2019·四川中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
5．（2019·江苏南通田家炳中学初二期末）若的两根分别是与5，则多项式可以分解为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·重庆市綦江中学初三期中）已知，则的值是
A． B．4 C．或4 D．3或
7．方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．2
8．已知实数、满足，则的值为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．4或2
9．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·河南省实验中学初二期末）一元二次方程2x（x+1）=（x+1）的根是（ ）
A．x=0 B．x=1
C． D．
填空题（共5小题)
11．（2019·广西中考真题）一元二次方程的根是_____．
12．（2019·湖北中考真题）对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
13．（2019·江苏中考真题）一元二次方程的根是_____.
14．（2019·河南省实验中学初二期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____
15．（2019·上海市西延安中学初二期末）方程的根是________.
三、解答题（共2小题)
16．（2018·湖南师大附中梅溪湖中学初二期中）解方程：
（1）
（2）
17．（2019·福建省福州第十一中学初二期末）计算：
（1）
（2）
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）
精选练习答案
一、单选题（共10小题)
1．（2018·洛阳华洋国际学校初三月考）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
【详解】当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1．
综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．
故选C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
2．（2019·马鞍山秀山实验学校初二期末）方程 x2 x 的解是（ ）
A．x 1 B．x1 1 ， x2 0
C．x 0 D．x1 1 ， x2 0
【答案】B
【解析】先变形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.
【详解】解：移项，得x2－x=0，
原方程即为，
所以，x=0或x－1=0，
所以x1 1 ， x2 0.
故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四种解法（完全开平方法、配方法、公式法和分解因式法）并能根据方程的特点灵活应用是求解的关键.
3．（2018·湖南师大附中梅溪湖中学初二期中）一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】B
【解析】利用因式分解法解方程．
【详解】x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
所以x1=0，x2=2．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
4．（2019·四川中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【答案】A
【解析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
【点评】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
5．（2019·江苏南通田家炳中学初二期末）若的两根分别是与5，则多项式可以分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【详解】∵x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，
∴2x2-4px+6q=2（x2-2px+3p）
=2（x+3）（x-5），
故选：C．
【点评】考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键．
6．（2019·重庆市綦江中学初三期中）已知，则的值是
A． B．4 C．或4 D．3或
【答案】C
【解析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解该方程即可．
【详解】设，则由原方程，得，
整理，得，
解得或．
故选C．
【点评】考查了换元法解一元二次方程换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
7．方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】求出两个方程的根，确定出p与q的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】方程x2-6x+5=0较小的根为p=1，方程5x2-4x-1=0较大的根为q=1，
则p+q=2，
故选B．
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．已知实数、满足，则的值为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．4或2
【答案】A
【解析】把x2+y2当作一个整体，原式变为（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，即可求得（x2+y2）的值是-2或4．再根据非负数的性质即可.
【详解】（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5，
∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-3=5，
∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，
即：[（x2+y2）-1]2=9，
∴（x2+y2）=-2或4．
又∵x2+y2≥0
∴x2+y2=4
故选：A．
【点评】考查了利用换元思想解决方程，关键是把（x2+y2）看成一个整体来计算，即换元法思想．
9．（2018·全国初三单元测试）一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只有把等号左边的二次三项式分解为(x－x1)(x－x2)，它的根才可能是x1，x2．
【详解】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．
10．（2019·河南省实验中学初二期末）一元二次方程2x（x+1）=（x+1）的根是（）
A．x=0 B．x=1
C． D．
【答案】D
【解析】移项，提公因式法分解因式，即可求得方程的根．
【详解】解：2x（x+1）=（x+1），
2x（x+1）-（x+1）=0，
（2x-1）（x+1）=0，
则方程的解是：x1= ，x2=-1．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解法-因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
二、填空题（共5小题)
11．（2019·广西中考真题）一元二次方程的根是_____．
【答案】
【解析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．（2019·湖北中考真题）对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
【答案】-3或4
【解析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故答案为：或．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．（2019·江苏中考真题）一元二次方程的根是_____.
【答案】x1=1, x2=2.
【解析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
【详解】x(x-2)-(x-2)=0，
，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1， x2=2，
故答案为：x1=1， x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
14．（2019·河南省实验中学初二期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程-6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____
【答案】4
【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【详解】解：x2-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
x-2=0，x-4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．
15．（2019·上海市西延安中学初二期末）方程的根是________.
【答案】
【解析】首先将方程转化形式，再提取公因式，即可得解.
【详解】解:原方程可转化为
∴方程的根为.
【点评】此题主要考查二元一次方程的解法，熟练运用，即可解题.
三、解答题（共2小题)
16．（2018·湖南师大附中梅溪湖中学初二期中）解方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【解析】（1）方程变形后利用平方根的定义开方，即可求出解，
（2）运用因式分解法求解即可.
【详解】（1），
，
，
，，
（2）
，
，，
，.
【点评】此题考查了一元二次方程的解法---直接开平方法和因式分解法.熟练掌握各自的解法是解本题的关键.
17．（2019·福建省福州第十一中学初二期末）计算：
（1）
（2）
【答案】(1);(2)
【解析】(1) 方程利用配方法求出解即可；
(2) 方程利用因式分解法求出解即可.
【详解】(1) 移项,得:x2-4x=6
两边同时加上4,得:x2-4x+4=10
配方,得:(x-2)2=10
两边开方,得:x-2=
移项,得:x=2
(2)
分解因式得：(x-3)(x+1)=0
可得x-3=0或x+1=0
解得：.
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
