第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程根与系数关系
精选练习
单选题（共10小题)
1．已知是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
4．（2019·广西中考真题）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知方程的两个解分别为、，则的值为（）
A． B． C．7 D．3
7．（2019·广西中考真题）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
8．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
9．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2+3x-2=0 D．x2-2x+3=0
10．关于x的一元二次方程的两个根x=?1,x=?3,则这个方程是（?）
A．x+4x+3=0 B．x+4x?3=0
C．x?4x?3=0 D．x?4x+3=0
填空题（共5小题)
11．（2019·广东深圳实验学校初二期末）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝_____．
12．（2019·四川中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
13．（2018·湖南广益实验中学初二期中）若方程的两个实数根为，则的值为__________．
14．（2019·江苏中考真题）设、是方程的两个根，则________．
15．（2019·江西中考真题）设，是一元二次方程的两根，则_______．
三、解答题（共2小题)
16．（2019·湖北中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）若为正数，求的值；
（2）若，满足，求的值.
17．（2019·湖北中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值及方程的根．
第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程根与系数关系
精选练习答案
一、单选题（共10小题)
1．已知是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系得出m+n=-（2b+3），mn=b2，变形后代入，求出b值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程x2+（2b+3）x+b2=0的两个实数根，
∴m+n=-（2b+3），mn=b2，
∵+1=- ，
∴+=-1，
∴=-1，
∴=-1，
解得：b=3或-1，
当b=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有解；
当b=-1时，方程为x2+x+1=0，△=12-4×1×1=-3＜0，此时方程无解，
所以b=3，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．
2．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】设x1，x2是一元二次方程的两个根，
∵
∴x1+x2=3，x1?x2=-c，
∴该一元二次方程为：，即
故选A.
【点评】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．
3． x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1?x2=是解题的关键．
4．（2019·广西中考真题）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解；
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∵，
∴；
故选：B.
【点评】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
5．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【解析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
6．已知方程的两个解分别为、，则的值为（）
A． B． C．7 D．3
【答案】D
【解析】由根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1?x2＝2，将其代入x1＋x2?x1?x2中即可得出结论．
【详解】解：∵方程x2?5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1?x2＝2，
∴x1＋x2?x1?x2＝5?2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1?x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
7．（2019·广西中考真题）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】根据题意得，，
所以．
故选：A．
【点评】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.
8．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）关于x的方程有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）
A．α+β ≥ B．α+β ≤ C．α+β ≥1 D．α+β ≤1
【答案】C
【解析】由于关于x的方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根a、B，则判别式△≥0，由此可以确定m的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+β的取值范围.
【详解】解：∵a=1，b=-2（1-m），c= m2，
故答案为C
【点评】本题考查了根式与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
9．（2018·山东初二期末）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2+3x-2=0 D．x2-2x+3=0
【答案】A
【解析】先计算出x1+x2=3，x1x2=2，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．
【详解】解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=?，x1x2=．
10．关于x的一元二次方程的两个根x=?1,x=?3,则这个方程是（?）
A．x+4x+3=0 B．x+4x?3=0
C．x?4x?3=0 D．x?4x+3=0
【答案】A
【解析】利用根与系数的关系判断即可得到结果．
【详解】∵关于x的一元二次方程的两个根x=?1,x=?3，
∴x+x=?4,xx=3，
则这个方程为x+4x+3=0，
故选A
【点评】此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键.
二、填空题（共5小题)
11．（2019·广东深圳实验学校初二期末）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝_____．
【答案】0
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，然后利用整体思想进行计算．
【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查根与系数的关系，解题关键在于得到x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1.
12．（2019·四川中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.
【答案】-2
【解析】根据根与系数的关系即可求解.
【详解】∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1,
=4-3(k-1)
=13,
K=-2.
故答案为:-2.
【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用.
13．（2018·湖南广益实验中学初二期中）若方程的两个实数根为，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为方程的两个实数根为m、n，所以，而=，将所得的式子代入计算即可.
【详解】解：∵方程的两个实数根为m、n，
∴，
∴===.
故答案为.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解.
14．（2019·江苏中考真题）设、是方程的两个根，则________．
【答案】
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和.
【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系.
15．（2019·江西中考真题）设，是一元二次方程的两根，则_______．
【答案】0
【解析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】解：、是方程的两根，
，，
．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
三、解答题（共2小题)
16．（2019·湖北中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）若为正数，求的值；
（2）若，满足，求的值.
【答案】（1），2；（2）
【解析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
(2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论．
【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵为正整数，
∴，2；
(2)∵，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵，
∴．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
17．（2019·湖北中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值及方程的根．
【答案】（1）；（2），
【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k的不等式，解不等式即可求得答案；
(2)由根与系数的关系结合已知可求得k的值，进而可求得原方程的根.
【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，
即，
整理得，，
解得：，
故实数的取值范围为；
(2)∵方程的两个根分别为，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
