第一章 集合与函数概念 章末测试题（含答案）

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第一章函数章末测试题
一．选择题（共12小题）
1．已知函数f（x）＝是定义在（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函数．若f（2）＝3，则a+b的值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．0
2．下列函数中在（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．f（x）＝|x| B．f（x）＝（x﹣1）2 C．f（x）＝ D．f（x）＝2x+1
3．设函数f（x）满足f（）＝1+x，则f（x）的表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝x2﹣2x+1，值域为{0，4，16}的“孪生函数”共有（　　）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
5．函数y＝的值域是（　　）
A．[0，+∞） B．[0，4] C．[0，4） D．（0，4）
6．已知y＝f（x）是偶函数，且x＞0时f（x）＝x+．若当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基名之，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数f（x）＝，
则函数y＝[f（x）]的值域是（　　）
A．{0，1} B．{1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
8．已知f（x）＝则不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是（　　）
A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C． D．
9．关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+1＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数f（x）＝x2+x+6，存在x∈[0，2]，使得f（x）≥a2﹣a成立，则实数a的取值范围（　　）
A．[﹣3，4] B．[﹣2，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）
11．已知函数f（x）＝x+4，g（x）＝x2﹣2x，，则F（x）的最值是（　　）
A．最大值为8，最小值为3 B．最小值为﹣1，无最大值
C．最小值为3，无最大值 D．最小值为8，无最大值
12．函数是R的奇函数，a，b是常数．不等式f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围为（　　）
A．． B．
C．k≤﹣1 D．

二．解答题（共5小题）
13.(1)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为或，求关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集．

(2)设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）若B?A，求实数m的取值范围；
（2）设实数集为R，若B∩?RA中只有一个整数﹣2，求实数m的取值范围．


14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f（x）＝x2+4x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间[﹣1，2]上的值域．

15．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）设x＞1时f（x）＜0，①求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②求不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集．




16．已知函数y＝x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）已知（x）＝，x∈[0，1]利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）＝﹣x+2a．若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的值．




17．设a为实数，函数的最大值为g（a）．
（1）设，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（2）求g（a）．




第一章滚动训练一
1.解：∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，则b﹣3+b﹣1＝0，得2b＝4，得b＝2，则f（x）＝，∵f（2）＝3∴f（2）＝＝3，得2a+1＝3，得2a＝2，a＝1，
则a+b＝1+2＝3，故选：C．
2.解：对于A，f（x）＝|x|＝，则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝（x﹣1）2，为二次函数，在区间（1，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于C，f（x）＝，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
对于D，f（x）＝2x+1＝2×2x，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；故选：C．
3.解：令t＝，则x＝且t≠﹣1，∵f（）＝1+x，则f（t）＝1＝，
∴f（x）＝．故选：A．
4.解：由题意知y＝x2﹣2x+1＝0，则x＝1，y＝x2﹣2x+1＝4，则x＝﹣1或x＝3，
y＝x2﹣2x+1＝16，则x＝﹣3或x＝5，所以孪生函数的定义域分别为{1，﹣1，﹣3}，{1，﹣1，5}，{1，3，﹣3}，{1，3，5}，{1，﹣1，3，﹣3}，{1，﹣1，3，5}，{1，﹣3，5，﹣1}，{1，﹣3，5，3}，{1，﹣1，3，﹣3，5}共有9个，故选：D．
5.解：∵4x＞0，∴0≤16﹣4x＜16，∴函数y＝的值域是[0，4）．故选：C．
6.解：y＝f（x）是偶函数，且x＞0时f（x）＝x+，可得f（x）在[1，3]的单调性为[1，2]递减，[2，3]递增，可得f（2）取得最小值4，最大值为f（1）＝5，可得f（x）在[﹣3，﹣1]的最小值为4，最大值为5，即有m﹣n＝5﹣4＝1．故选：B．
7.解：f（x）＝＝﹣＝﹣∈（﹣，）．
∴当x∈（﹣，0）时，y＝[f（x）]＝﹣1；
当x∈[0，）时，y＝[f（x）]＝0；∴函数y＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}．故选：C．
8.解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x≤ 即﹣2≤x≤当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x≤}故选：D．
9.解：当m＝0时，不等式为﹣x+1＞0，即x＜1，不符合题意．
当m≠0时，mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，
则m＞0且△＝（1﹣m）2﹣4m＜0，解得3﹣2＜m＜3+2故选：C．
10.解：由题意，可知：函数f（x）＝x2+x+6在x∈[0，2]时的值域为y∈[6，12]．
∵存在x∈[0，2]，使得f（x）≥a2﹣a成立，∴只要使a2﹣a≤12，即可满足题意，
解得﹣3≤a≤4．故选：A．
11.解：令f（x）≥g（x）可得x+4≥x2﹣2x，解得：﹣1≤x≤4，
∴F（x）＝，∴F（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，4]上单调递增，在（4，+∞）上单调递增．∴F（x）的最小值为F（﹣1）＝f（﹣1）＝3，F（x）没有最大值．故选：C．
12.解：∵f（x）是R上的奇函数，∴，∴；
∴且函数f（x）为R上的增函数；
根据题意可得，f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）＝f（9x﹣3x+2）对任意x∈R恒成立，又f（x）是R上的增函数，∴k?3x＜9x﹣3x+2即（3x）2﹣（k+1）3x+2＞0对任意x∈R恒成立，令t＝3x（t＞0），即t2﹣（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立，令g（t）＝t2﹣（k+1）t+2，对称轴为；
当，g（t）在（0，+∞）上为增函数，∴g（t）＞g（0）＝2＞0成立；
当，g（t）在（）递减，在（）递增，
∴函数g（t）的最小值为，解得；
综上，．故选：A．
二．解答题（共5小题）
13.(1)解：由题意得：a＜0，＝，，不等式cx2+bx+a＞0可化为：x2+x+1＜0，即x2x+1＞0，化简得（x﹣3）（x﹣2）＞0，解得：x＞3或x＜2．
∴所求不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．
(2)解：（1）集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，
由B?A，讨论B＝?时，有m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；
B≠?时，有，解0≤m≤，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，]；
（2）由集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，∴?RA＝{x|x＜﹣1或x＞2}，若B∩?RA中只有一个整数﹣2，则必有B≠?，即，解得﹣＜m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣，﹣1）．
14.解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数∴对任意的x∈R都有f（﹣x）＝f（x）成立
∴当x＞0时，﹣x＜0∴f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）+3＝x2﹣4x+3∴
（2）图形如右图所示，函数f（x）的单调递增区间为[﹣2，0]和[2，+∞）．（写成开区间也可以）
（3）由图象可知，函数在[﹣1，0]，[2，3]上为增函数；在[0，2]上为减函数，所以函数的值域为[﹣1，3]．
15．解：（1）取x1＝x2＝1得f（1×1）＝f（1）+f（1），即f（1）＝0，
取x1＝x2＝﹣1得f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，即f（﹣1）＝0，
取取x1＝x，x2＝﹣1得f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x），即f（x）是偶函数．
（2）①设x1＞x2＞0，则＞1，由x＞1时，f（x）＜0得f（）＜0，
则f（x1）＝f（x2?）＝f（x2）+f（）＜f（x2）即f（x）在（0，+∞）上为减函数，
②由f（x）是偶函数且在（0，+∞）上是减函数，
则不等式f（x﹣1）＞f（2x）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x|），
即得，得得，
即x＜﹣1或＜x＜1或x＞1，即不等式的解集为{x|x＜﹣1或＜x＜1或x＞1}
16．解：（1）f（x）＝＝＝（2x+1）+，
令u＝2x+1，因为x∈[0，1]，所以u∈[1，3]，可得f（x）转化为h（u）＝u+，u∈[1，3]，由已知条件所给出的性质得，当u∈[1，2]，时，h（u）递减；当u∈[2，3]时，h（u）递增．所以h（2）≤h（u）≤h（1）＝h（3）得f（x）的值域是[﹣4，﹣3]；
（2）函数g（x）＝﹣x+2a．为减函数，故当x∈[0，1]时，g（x）的值域[﹣1+2a，2a]，
对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立?f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即[﹣4，﹣3]?[﹣1+2a，2a]，则，解得：a＝．

17.解：（1）由平方得．
由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范围是．
又，∴．即，定义域为．
（2）由题意知g（a）即为函数的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知y＝h（t）在上单调递增，∴g（a）＝h（2）＝a+2．
②当a＝0时，h（t）＝t，，∴g（a）＝h（2）＝2．
③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，．
a若，即时，则；
b若，即时，则；
c若，即时，则g（a）＝h（2）＝a+2；
综上有．










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