24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习（解析卷）

初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1.3 弧、弦、圆心角
一、基础巩固
1.如图所示，在⊙O中， ，∠A=30°，则∠B=（?? ）
A.?150°???????????????? ???????B.?75°?????? ??? ?????C.?60°???????????????????????D.?15°

2.给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是(?? ) 21世纪教育网版权所有
A.?①②?????????????????????????B.?②③????????????????????????????C.?①③?????????????????????????????????D.?①②③
3.如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=( ???)
A.?40°???????????????????????????B.?45°???????????????????????????C.?50°???????????????????????????????D.?60°
4.如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC=BD，
求证：BC=AD．

二、强化提升
5.如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为(?? )
A.?3?????????????????? ????B.?4??????????????????????????C.?3 ??????????????????????????D.?4
6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①AB?CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是(??? )21教育网
A.?1????????????????????? ?B.?2???????????????????????? C.?3??????????????????????????????????D.?4
7.如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为________度．
8.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
9.如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，连结AC，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连结FC．21cnjy.com
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长（用含m、n的代数式表示）；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
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三、真题演练
10.下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
11.如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度数为________． 2·1·c·n·j·y
12.如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.

11题图 12题图
答案解析部分
一、基础巩固
1.答案： B
解： ∵在⊙O中， ，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B= =75°（三角形内角和定理）．
故答案为：B．
分析： 根据等弧所对的弦相等得出AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C；然后滚局三角形的内角和即可算出∠B的度数。【来源：21·世纪·教育·网】
2.答案： D
解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确.
故答案为：D. 分析：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形， 据此可判断①正确；根据垂径定理可判断②正确；利用弧、弦、圆心角之间的关系可判断③正确.世*教育网
3.答案： A
∵OA=OB，∴∠B=∠A=50°，∠AOB=80°， 又∵C是 的中点 ， ∴∠BOC=∠AOC=40°。 故答案为：A。 分析：由OA=OB，可求得∠AOB的大小，由 C是 的中点可得出弧AC等于弧BC，故∠BOC=∠AOC=40°。www-2-1-cnjy-com
4.答案： 证明：∵AC=BD，∴ ,
∴ ,即 ,
∴BC=AD
分析：根据等弦所对的弧相等得 ,由等量代换得 ,再由等弧所对的弦相等即可得证.
二、强化提升
5.答案：C
解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD， ∵AB=CD=8，∴OE=OF，DE=CE=4，在Rt?ODE中，DE=4，OD=5，21*cnjy*com
∴OE==3;∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，∴四边形OEPF是矩形，而OE=OF，∴四边形OEPF是正方形，∴OE=EP=3，在Rt?OPE中，由勾股定理可得OP=.故选C。分析：过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，连接OD，由垂径定理可得OE=OF，DE=CE，在Rt?ODE中，用勾股定理可求得OE的长；根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP，在Rt?OPE中，用勾股定理可求得OP的长。【出处：21教育名师】
6.答案： D
解：如图连接OB、OD；?∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D.【版权所有：21教育】
分析：如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。21教育名师原创作品
7.答案： 120．
解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为：120．
分析：根据垂径定理的推论可得AC⊥OB，点A在OB的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可得OA=AB，进而可得△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，∠AOC=120°.www.21-cn-jy.com
8.答案：证明：∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，
∴∠AOC=∠BOD
分析：根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
9.答案：（1）证明：连接AB，
∵OP⊥BC，
∴BO=CO，
∴AB=AC，
又∵AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABD=∠ACF，
∴∠ACF=∠ADB．
（2）解：过点A作AN⊥BD于点N ,
∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD.
由（1）得∠ACF=∠ADB，
∴∠FDC=∠FCD,
∴CF=DF.
∴BF+CF=BF+DF=n，
又∵AB=AD,AN⊥BD，
∴DN= ，∴在Rt△ABN中，AD2=DN2+AN2=m2+ =m2+ ，
在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2=2AC2=2m2+ ，
∴CD= ．
（3）解： 的值不发生变化，
过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，
∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠OAC=∠ADH，
在△DHA和△AOC中
，
∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），
∴DH=AO，AH=OC，
又∵BO=OC，
∴HO=AH+AO=OB+DH，
而DH=OQ，HO=DQ，
∴DQ=OB+OQ=BQ，
∴∠DBQ=45°，
又∵DH∥BC，
∴∠HDE=45°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴ = ，
∴ = ．
分析：（1）连接AB，由垂径定理可得AB=AC，由AC=AD，可得AB=AD，根据“等边对等角”可得∠ABD=∠ADB，由同弧所对的角相等，可知∠ACF=∠ADB，则可证得；（2）由（1）可知∠ACF=∠ADB，且等腰Rt△ACD，则∠FDC=∠FCD,则CF=DF，则BF+CF=BF+DF=n；由AB=AD，作BD边上的高AN，由勾股定理求出AD和CD即可；（3）由等腰Rt△ACD，可构造全等三角形，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，易证Rt△DHA≌Rt△AOC，从而可得AH=OC=OB，OA=DH，则 = ，即证Rt△DHE中的锐角是否为固定的值.由BQ=OB+OQ=AH+OA=DQ，可证得∠DBQ=45°，从而可得∠HDE=45°.【来源：21cnj*y.co*m】
三、真题演练
10.答案： A
①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故答案为：A．
分析：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断①；两点之间线段最短，据此判断②；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断③；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断④；2-1-c-n-j-y
11.答案：
，
，
，
，
，
故答案为 ．
分析：根据圆心角、圆周角与弧长对应关系，可解得∠AOB的度数。
12.答案： 解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
分析： 如图，连接 ，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出 ，进而根据等式的性质得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ，根据等角对等边得出结论。