24.3 正多边形和圆 同步练习（解析卷）

初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.3 正多边形和圆
一、基础巩固
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（? ）

A.?110°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?135°????????????????????????????????????D.?140°
2.半径为r的圆的内接正六边形边长为 ??
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?r?????????????????????????????????????????D.?2r
3.已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是________.
4.????????????
（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．
二、强化提升
5.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（ ??）
A.?0.5???????????????????????????????????B.?0.7???????????????????????????????????C.?﹣1???????????????????????????????????D.?﹣1
6.知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（?? ）
A.?? ?????????????????????????????????B.?? ?????????????????????????????????C.??? ?????????????????????????????????D.??
7.如图，五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2 ， 则∠1－∠2＝________°.
8.如图，在正方形ABCD中，画一个最大的正六边形EFGHLJ，则∠BGF的度数是________?．

9.如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1 ， 又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为________． 21·cn·jy·com
10.如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．

（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
三、真题演练
11.正九边形的一个内角的度数是（?? ）
A.?108°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?135°????????????????????????????????????D.?140°
12.下列命题是假命题的是（ ??）
A.?三角形两边的和大于第三边B.?正六边形的每个中心角都等于60°C.?半径为R的圆内接正方形的边长等于 RD.?只有正方形的外角和等于360°21·世纪*教育网
13.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2 ，则它的边长是（?? ）

A.?1?????????????B.?C.????????????D.?2
14.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________?.
15.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为________. 【来源：21cnj*y.co*m】

16.若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________．

答案解析部分
一、基础巩固
1.答案：D
解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＋∠C=180°, ∵∠A=40°, ∴∠C=180°－40°=140°. 故答案为：D。 【版权所有：21教育】
分析：根据圆的内接四边形的对角互补即可算出答案。
2.答案：C
如图，
六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r.
故答案为：C.
分析：根据正多边形的性质可知∠AOB=60°，根据同圆的半径相等得出OA=OB，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：三角形AOB是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=OA=r.
3.答案：5
解：这个正多边形的边数： 。
故答案为：5。
分析：由于任何正多边形的外角和都是360°，且所有外角都相等，故用外角的总度数除以每一个外角的度数即可算出该多边形的边数。21教育网
4.答案：（1）解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，
6x=180，
x=30，
则三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°
（2）解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°=1800°，
解得n=12．
故这个多边形的边数为12
【解析】分析：（1）根据三角形内角和为180°，以及各角比例，即可求出各内角，即而求出外角。 （2）根据正多边形的性质，设出多边形的边数是n 。列出关系式，求解n。21cnjy.com
二、强化提升
5.答案：D
解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或 ﹣1。
故答案为：D。
分析：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，从而即可得出答案。21世纪教育网版权所有
6.答案：C
解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O ∴∠AOB=×360°=60° 又∵OA=OB? ∴△AOB是等边三角形 ∴AB=OA=OB=2? ∠BAO=60° 作OG⊥AB于G,则OG=OA×sin∠BAO=2×=3 ∴S△OAB=·AB·OG=×2×3=3 ∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×3=18. 21*cnjy*com
故答案为：C. 分析：先求出正六边形的中心角∠AOB，进而判定△OAB是等边三角形，得AB=OA=OB=2? ∠BAO=60°，继而得高OG，从而得S△OAB ， 而S正六边形ABCDEF=6S△OAB。
7.答案：72
解：过B点作BF∥l1 ，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=108°，
∵BF∥l1 ， l1∥l2 ，
∴BF∥l2 ，
∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，
∴180°-∠1+∠2=∠ABC=108°，
∴∠1-∠2=72°.
故答案为：72.
分析：过B点作BF∥l1 ， 利用正五边形的性质可求出∠ABC=108°，根据平行线的传递性可得BF∥l2 ， 利用平行线的性质可得∠3=180°-∠1，∠4=∠2，由∠3+∠4=∠ABC=108°，即可求出∠1-∠2的度数.
8.答案：15°
解：连接AC，BD，OG．
则点O是正方形和正六边形的中心，F，I在BD上．
∴∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°．
∴ ∠BGF=∠4=∠BGO-∠3=15°． 故答案为：15°.
分析：连接AC，BD，OG．根据正方形、正六边形的性质，可得∠1=45°，∠2=60°，∠3=60°． ∴∠BGO=75°，从而求出∠BGF的度数.2·1·c·n·j·y
9.答案：
解：由题意第一个圆的半径为2，
第二个圆的半径为 ，
第三个圆的半径为 ，
，
第六个圆的半径为 ．
故答案为： ．
分析：找规律的题目，先求出1-3个圆的半径，从而发现规律：， ??然后再根据规律求出第6个圆的半径即可。【出处：21教育名师】
10.答案：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，
∴△ABF≌△BCG；
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．
【解析】分析：（1）根据正多边形的性质，可证得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD， 再证明BF=CG，然后利用SAS证明△ABF≌△BCG。 （2）利用全等三角形的性质，易证∠GBC=∠FAB，再利用三角形的外角的性质，可证得∠AHG=∠ABC，然后求出正五边形的一个内角的度数，即可得出答案。www.21-cn-jy.com
三、真题演练
11.答案：D
解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ 。
故答案为：D。
分析：根据正多边形的内角和公式（n-2）180°算出该正多边形的内角和，由于正多边形的每一个内角都相等，故用该多边形的内角和除以内角的个数，即可算出每一个内角的度数。2-1-c-n-j-y
12.答案：A
解:A、三角形两边的和大与第三边，据此判断即可. B、正六边形的每个中心角都等于60°，据此判断即可. C、半径为R的圆内接正方形的边长等于R，据此判断即可. D、多边形的外角和都等于360°，据此判断即可. 21教育名师原创作品
故答案为：D.
分析：利用三角形的三边关系、正多边形的中心角、边长的计算及多边形的外角和，逐一选项分析即可.
13.答案：D
解：如图，过点B作BG⊥AC于点G.
正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，
∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，
∴AG= AC= ，
∴GB=1，AB=2，
即边长为2。
故答案为：D。
分析：如图，过点B作BG⊥AC于点G，根据正六边形的性质得出∠ABC=120°，AB=AC，从而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠BAC=∠BCA=30°，AG= AC= ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB的长，从而得出答案。www-2-1-cnjy-com
14.答案：5
解：如图所示，连接OB、OC，
?
? ∵OB=OC=5，∠BOC=90°，
?? ∴BC=5 。
? 故答案为：5 。
分析：如图所示，连接OB、OC，根据正方形的性质及勾股定理得出BC=5 。
15.答案：52°
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
分析：由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.【来源：21·世纪·教育·网】
16.答案：

解：如图，连接 、 ，作 于 ；
则 ，
∵六边形 正六边形，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
故答案为： ．
分析：如图，连接 、 ，作 于 ,可得OG=2，根据正方形的性质，可得△OAB是正三角形，可得∠OAB=60°，利用解直角三角形可求出OA的长，即是外接圆半径，