北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第15讲 全等三角形判定二(提高)含答案

全等三角形判定二（SAS）（提高）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定4——“边角边”
1. 全等三角形判定4——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
要点二、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
　　　 已知条件
　　可选择的判定方法
　　一边一角对应相等
　　SAS AAS ASA
　　两角对应相等
　　ASA AAS
　　两边对应相等
　　SAS SSS
要点三、如何选择三角形证全等
1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定4——“边角边”1、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．

【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．
在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB＝CE．
∵AC＋CE＞AE，
∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．
【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．
2、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，
求证：AB＝CD－BD．

【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC＝AE即可．
【答案与解析】
证明：在DC上取一点E，使BD＝DE
∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE
在△ABD和△AED中， BD＝DE，AD＝AD．
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AB＝AE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．
∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．
∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．
【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.
举一反三：
【变式】（2019秋?利通区校级期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB=DC B． OB=OC C． ∠C=∠D D． ∠AOB=∠DOC
【答案】B．
解：A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误.
类型二、全等三角形动态型问题
3、（2019?武汉模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.
（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.
（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.
【答案与解析】
证明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。
（2）①EF＝AE－BF，理由如下：
∵AE⊥，BF⊥，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。
②EF＝AE―BF
③EF＝BF―AE
证明同①.
【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：
变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段
之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；
几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，
其结论有时变化，有时不发生变化.
举一反三：
【变式】已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.
【答案】
证明：（1）∵正方形ADEF
∴AD＝AF，∠DAF＝90°
∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF
在△ABD和△ACF中，

∴△ABD≌△ACF（SAS）
∴BD＝CF
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD＝CF
此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF
在△ABD和△ACF中，

∴△ABD≌△ACF（SAS）
∴BD＝CF
类型三、全等三角形判定的实际应用　
4、（2019春?深圳校级期中）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB的长是（　　）
A．2.5 B．10 C．5 D．以上都不对
【思路点拨】由AB、ED均垂直于BD，即可得出∠ABC=∠EDC=90°，结合CD=CB、∠ACB=∠ECD即可证出△ABC≌△EDC（ASA），由此即可得出AB=ED=5，此题得解．
【答案】C．
【解析】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED=5．
故选C．
【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（ASA）．解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019秋?上海期末）已知：如图，△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（　　）
　 A．边边边 B． 边角边 C． 角边角 D． 角角边
2．（2019春?深圳校级期中）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF、CE，且∠FBD=35°，∠BDF=75°，下列说法：①△BDF≌CDE；②ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④∠DEC=70°，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )
A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜3
4．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（　　）．
A.150° 　　 B.40° 　　 C.80° 　 D.90°
5． 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF等于（ ）
A.50° B.60° C. 65° D. 70°
二、填空题
7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.
8．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.
9.（2019秋?启东市校级期中）如图，已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，若以“SAS”为依据，补充的条件是　 　．
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.
11． 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝ °.
12．（2019秋?平谷区期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是　 　．
三、解答题
13．（2019春?长清区期末）以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD=CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
14.（2019秋?公安县期中）已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是中线，求AD的取值范围.
15．已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，
求证：AP⊥AQ.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B.
【解析】∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC．
∴△ADC≌△AEB．（SAS）
2．【答案】D；
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD的面积=△ACD的面积，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①②正确
∴∠F=∠CED，∠DEC=∠F，
∴BF∥CE，故③正确，
∵∠FBD=35°，∠BDF=75°，
∴∠F=180°﹣35°﹣75°=70°，
∴∠DEC=70°，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：D．
3．【答案】D；
【解析】用倍长中线法；
4．【答案】D；
【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；
5．【答案】C；
【解析】A不能构成三角形，B没有SSA定理，D没有AAA定理.
6．【答案】C；
【解析】证△DBE≌△ECF，∠DEF＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－∠DEB－∠BDE＝
∠B ＝＝65°.
二.填空题
7．【答案】66°；
【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝，所以∠DCB＝
∠ABC＝25°＋41°＝66°
8．【答案】45°；
【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.
9. 【答案】AC=AE．
【解析】补充的条件是：AC=AE．理由如下：
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE．
∵在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
10.【答案】4；
【解析】△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.
11.【答案】27；
【解析】可证△ADB≌△CDB≌△CDE.
12.【答案】有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；
【解析】解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠O=∠O′．
故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
三.解答题
13．【解析】
解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF=∠BDA
∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA
=∠DAB
=90°；
（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠CAB=90°．
14.【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，
∵AB=8，AC=6，CE=8，
设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜14，
∴1＜x＜7，
∴1＜AD＜7．
15．【解析】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知）
∴∠ACF＋∠BAC＝90°，∠ABE＋∠BAC＝90°，（三角形内角和定理）
∠ACF＝∠ABE（等式性质）
在△ACQ和△PBA中
∵
∴△ACQ≌△PBA（SAS）
∴∠Q＝∠BAP（全等三角形对应角相等）
∵CF⊥AB（已知）
∴∠Q＋∠QAF＝90°，（垂直定义）
∴∠BAP＋∠QAF＝90°，（等量代换）
∴AP⊥AQ.（垂直定义）