北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 用尺规作三角形及三角形全等应用(提高)含答案

用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）

【学习目标】
1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；
2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；
3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.
【要点梳理】
要点一、基本作图1.尺规作图的定义
利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
要点诠释：　　尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.
2.常见基本作图
常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.
要点诠释：
1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.
要点二、三角形全等的实际应用
在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.
【典型例题】
类型一、基本作图
/1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
如图，已知，∠α、∠β．
/
求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．
【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．
【答案与解析】
解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．
/
【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．
举一反三：
【变式】（2019?湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
/
【答案】
解：
（1）以点B为一顶点作等边三角形；
（2）作等边三角形点B处的角平分线．
/
/2、（2019?宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）
/
【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D．
【解析】
解：如图所示：DC即为所求．
/
【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
类型二、作三角形
/3、（2019?蓝田县一模）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
/
【思路点拨】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求．
【答案与解析】
解：如图，
△ABC为所求作的直角三角形．
/
【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
举一反三：
【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）
/
【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形；
如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS；
/
类型三、三角形全等的实际应用
/4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．
要求：（1）画出设计的测量示意图；
（2）写出测量方案的理由．
/
【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；
（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）如图所示；
分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，
使其相交于点C，
使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，
测得PQ即可得出AB的长度．
（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，
又∠PCQ=∠BCA，
∴在△PCQ与△BCA中，
/，
∴△PCQ≌△BCA（SAS），
∴AB=PQ．
/
【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．
举一反三
【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（　　）
/
A．边角边　　　B．角边角　　C．边边边　　D．角角边
【答案】C.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列作图属于尺规作图的是（　　）
A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．作∠AOB，使∠AOB=2α
C．画线段AB=3厘米 D．用三角板过点P作AB的垂线
2．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（　　）
/
A．带①去 B．带①②去 C．带①②③去 D．①②③④都带去
3．（2019春?澧县校级期中）根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（　　）
A. 用尺规作一条线段等于已知线段
B. 用尺规作一个角等于已知角
C. 用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D. 不能确定
4. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（　　）
A．绝对准确 B．误差很大，不可信 C．可能有误差，但误差不大，结果可信
D．如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离
5．下列尺规作图的语句正确的是（　　）
A．延长射线AB到点C B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC=AB D．延长线段AB到点C，使AC=BC
6．用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（　　）
A. 已知三边 B. 已知两角及夹边
C. 已知两边及夹角 D. 已知两边及其中一边的对角
二.填空题
7.（2019秋?临海市校级月考）如图，∠ADB=　　°．
/
8．如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .
/
9.所谓尺规作图中的尺规是指： ．
10．（2019春?北京校级期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD=CA，连结BC并延长BC到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出 　的长就等于AB的长． 这是因为可根据　 　方法判定△ABC≌△DEC．
/
11．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=32°，∠C=70°，∠BAD=　 　.
/
12．如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．
（1）如图甲所示，作∠MCN=________；
（2）如图乙所示，在射线CM上截取BC=________，在射线CN上截取AC=________．
（3）如图丙所示，连接AB，△ABC即为_________．
/
三.解答题：
13．（2019?青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．
/
14．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
/
15．（2019?青岛模拟）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，线段a，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=2a．
/
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】B；
【解析】根据尺规作图的定义可得：B属于尺规作图．
2．【答案】A；
【解析】带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，带②③去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；带④去，既不能测量出正五边形的内角的度数，也不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃．所以最省事的方法是带①去．
3．【答案】C；
【解析】已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是：用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．故选C．
4．【答案】C；
【解析】利用相似三角形，可以求得实际生活中的长度，
但误差是在所难免的．所以选C．
5．【答案】C；
【解析】A、射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，错误；B、直线是无限延伸的，不用延长，错误；C、线段的有具体的长度，可延长，正确；D、延长线段AB到点C，使AC＞BC，错误．
6．【答案】D；
【解析】A、B、C分别符合全等三角形的判定SSS、ASA、SAS，故能作出唯一三角形；
D、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；故选D．
二.填空题
7.【答案】110．
【解析】如图所示：可得AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=50°，∴∠CAB=40°，∴∠CAD=∠DAB=20°，
∴∠ADB=180°﹣20°﹣50°=110°．
8．【答案】∠EAB＝∠FAC；
【解析】答案不唯一.
9．【答案】没有刻度的直尺和圆规；
10．【答案】DE，SAS；
【解析】解：量出DE的长就等于AB的长． 这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．
故答案为：DE，SAS．
11．【答案】39°；
【解析】解：∵∠B=32°，∠C=70，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=78°．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=/∠BAC=39°．
12．【答案】∠α；a ； b ； 所求三角形 ；
【解析】结合题意再根据基本作图的语句描述，即可得出答案.
三.解答题
13.【解析】
解：如图，△ABC为所求．
/
14.【解析】
解：（1）见图：
（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；
（3）设DC=m
∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO
∴△AOB≌△COD （SAS）
∴AB=CD=m．
/
15.【解析】
解：①作射线BE，在射线BE上截取BC=a，
②作BC的垂直平分线EF，交BC于点D，
③截取AD=2a，连接AB，AC，
则△ABC即为所求．
/