北师大版初中数学七年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第20讲 简单的轴对称及利用轴对称进行设计(提高)

简单的轴对称及利用轴对称进行设计（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.
2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算．
3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判定定理，能用它们解决几何计算与证明题.
4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．
【要点梳理】
要点一、作轴对称图形和对称轴
1.做轴对称图形
可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.
要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.
2.对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
要点二、等腰三角形的性质及判定
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
要点诠释：
（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．
2.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点四、角平分线性质定理及其逆定理
角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点五、利用轴对称性质进行简单设计
欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.
【典型例题】
类型一、作轴对称图形及对称轴
/1、公园内有一块三角形空地（如图），现要将它分割成三块，种植三种不同的花卉，为了美观，要求每块都要是轴对称图形，请你在右图中画出分割线，保留必要的画图痕迹．
/
【思路点拨】根据等腰三角形是轴对称图形，作任意两边的垂直平分线，找出△ABC的外心P，然后连接PA、PB、PC，把三角形分成三块等腰三角形．
【答案与解析】
解：如图，分别作AB、BC的垂直平分线，相交于点P，
则点P是△ABC的外心，沿PA、PB、PC进行分割，
得到的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，都是轴对称图形．
/
【总结升华】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，根据等腰三角形是轴对称图形的特点，分割后得到等腰三角形，是作三角形的外心的关键，也是本题的突破口．
举一反三：
【变式】如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．
/
【答案】
解：如图：
/
类型二、等腰三角形的性质与判定
/2、（2019秋?蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
/
【思路点拨】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【答案与解析】
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
/，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=/（180°﹣40°）=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°
/
【总结升华】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
举一反三：
【变式】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.
求证：AM＝(AB＋AC) ．
/
【答案】
证明：延长AM至点E，使ME＝AM，连结CE.


∴　
类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
/3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．
/
【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．
【答案与解析】
/
解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，
在Rt△CDE中，CD=2DE，
在Rt△ABD中，BD=2AD，
∴BD=4DE，
∵DE=1cm，
∴BD的长为4cm．
故答案为：4cm．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三
【变式】（2019?安徽模拟）如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）
/
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵腰长AB=8，
∴AC=AB=8，
∴△BEC周长=8+5=13．
/4、如图，已知AB=AD，BC=DC，BD交AC于点O，请分别说明下列判断成立的理由：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）AC是线段BD的垂直平分线．
/
【思路点拨】（1）再加上公共边AC，即可利用SSS证明；
（2）由（1）中的结论可判断出点A、C均在BD的垂直平分线上．
【答案与解析】
证明：（1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．
（2）∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=CD．
∴点A、C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC是线段BD的垂直平分线．
【总结升华】注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．需注意与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，但两点确定一条直线．
举一反三
【变式】用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．
/
【答案】
/
类型四、角平分线性质定理及其逆定理
/5、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，
求证：OB=OC．
证明：∵AO平分∠BAC，
∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
/
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．
【答案与解析】
证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=OC．
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．
举一反三
【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（　　）
/
A．仅①②　　　B．仅③④　　C．仅①②③　　D．①②③④
【答案】D；
/6、如图所示，已知△ABC中，F点到直线AE、AD、BC的距离都相等．
求证：F点在∠DAE、∠CBD、∠BCE的平分线上．
/
【思路点拨】连接AF，由已知可知GF=FM，已知AF=AF，则利用HL来判定Rt△AGF≌Rt△AMF从而可得到∠FAG=∠FAM，同理可得到∠FCG=∠FCH，∠FBH=∠FBM，即F点在∠DAE、∠CBD、∠BCE的平分线上．
【答案与解析】
/
证明：如图所示，连接AF．
∵F点到直线AE、AD的距离相等，
即FG=FM，
∴△AGF和△AMF为直角三角形．
在Rt△AGF和Rt△AMF中，
∵FG=FM，AF=AF，
∴Rt△AGF≌Rt△AMF．
∴∠FAG=∠FAM．
同理可证Rt△FGC≌Rt△FHC，
Rt△FHB≌Rt△FMB，
∴∠FCG=∠FCH，∠FBH=∠FBM，
∴F点在∠DAE，∠CBD，∠BCE的平分线上．
【总结升华】此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．准确作出辅助线是解答本题的关键．
类型五、利用轴对称性质进行设计
/7、图1、2、3均为4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在这三个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
/
【思路点拨】根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后重合．中心对称的性质：绕某一点旋转180°以后重合进行拼图即可．
【答案与解析】
解：
/
【总结升华】本题考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．
【巩固练习】
一.选择题
1．在图中，是轴对称图形的是 （ ）
/
2．如图，ΔABC与Δ关于直线对称，则∠B的度数为 （ ）
/
A．30° B．50° C．90° D．100°
3. 下列说法中错误的是( )
A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个三角形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合
4. 一平面镜以与水平面成45°角固定在水平桌面上,如图所示,一小球以1米/秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去,则小球在平面镜里所成的像（ ）.
A. 以1米/秒的速度,做竖直向上运动
B. 以1米/秒的速度,做竖直向下运动
C. 以2米/秒的速度,做竖直向上运动
D. 以2米/秒的速度,做竖直向下运动
/
5. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A.在AC，BC两边高线的交点处 B.在AC，BC两边中线的交点处
C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处
/
6．（2019春?鄂城区月考）如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长为（　　）
/
A．30 B．33 C．36 D．39
二.填空题
7．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
/
8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5，BC＝3，则ΔPBC的周长＝_____．
/
9. 如图，等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 ．
/
10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.
/
11. 如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为　 cm2．
/
12．（2019春?射阳县校级月考）如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A=　 　°．
/
三.解答题
13. 现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．/
14. 如图，点P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA、OB的对称点为P1、P2，连接P1、P2，交OA于点M，交OB于点N．
（1）根据题意，把图形补充完整．
（2）若P1P2=5cm，求△PMN的周长．
/
15．（2019?株洲模拟）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
/
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】根据轴对称图形的定义判断.
2. 【答案】D；
【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等.
3. 【答案】C；
【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称.
4. 【答案】B；
【解析】入射角等于反射角，小球在平面镜里成像向下运动，速度不变.
5. 【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.
6. 【答案】A．
【解析】∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB，
∴∠NBO=∠NOB，∠MOC=∠MCO，
∴MO=MC，NO=NB，
∵AB=12，AC=18，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．
故选A．
二.填空题
7．【答案】40；
【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.
8. 【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°.ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8.
9. 【答案】6；
【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC的周长＝6.
10．【答案】70；
【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
11. 【答案】20；
【解析】过点C作CF⊥OM于点F，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得OB=AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得AC=CF，再根据三角形的面积计算公式得出△OBC的面积．
12.【答案】60.
【解析】∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°，
故答案为：60．
三.解答题
13.【解析】解：因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．如图所示

/．
14.【解析】（1）过点P分别作OA，OB的垂线，分别交AO，AB于点G，H，截取GP1=GP，HP2=HP；（2）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．
解：（1）如图所示：
/
（2）∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线．
∴MP=MP1．
同理可得：NP=NP2．
∵P1P2=5cm，
∴△PMN的周长=MP+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5cm．
15.【解析】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=/AB=2.5．