2.3 幂函数限时训练（含答案）

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幂函数限时训练
（完成时间：60分钟）
1．在函数y=，y=2x2，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，则a=（　　）
A．﹣1 或 2 B．﹣2 或 1 C．﹣1 D．1
3．幂函数y=f（x）经过点（3，），则f（x）是（　　）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数 D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
4．函数y=x的图象是图中的哪一个（　　）
A． B． C． D．
5．如图是幂函数y=xn在第一象限内的图象，
已知n取，2，﹣2，﹣四值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．2，，﹣，﹣2 B．﹣2，﹣，，2 C．﹣，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣

6．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
7．设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a　
8．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．则函数f（x）的解析式为　 　．



9．已知幂函数f（x）=xm﹣3（m∈N+）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的a的取值范围．



10．设，则使幂函数y=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的a值的个数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6
11．设a=log38，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
12.已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（　　）
A． B． C． D．
13.对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是（　　）
A．＞ B．＜
C．= D．无法确定
14. 给出下面四个条件：①f(m+n)=f(m)+f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n);
③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)=f(m)+f(n).如果m,n是幂函数y=f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y=f(x)一定满足的条件的序号为


15.已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是


16.已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数，g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围．



17已知函数f（x）是幂函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（f（））=8
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由
（3）若函数g（x）=[f（x）]﹣ax（a∈R）在[1，2]上的最小值为﹣，求实数a的值．


幂函数限训答案
1．解：∵幂函数的定义是“形如y=xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，∴在函数y=，y=2x2，y=x2+x，y=1中，只有一个y==x﹣2符合定义，是幂函数；故选：B．
2.解：因为f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，所以，解得a=﹣1，故选：C．
3解：设幂函数的解析式为：y=xα，将（3，）代入解析式得：3α=，解得α=，∴y=，故选：D．　
解：y=x=∵f（﹣x）=f（x）=，函数是偶函数，排除B、C，据幂函数性质知D正确．
解：图象越靠近x轴的指数越小，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2，，﹣，﹣2．选：A．
6．解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n∴f（x）=xn ，又∵由幂函数y=f（x）的图象过点∴，故选：A．
7．解：考察函数y=为R上的单调减函数，∴，即a＜b，∵a3=，c3==，∴a3＞c3，考察幂函数y=x3在R上为增函数，∴a＞c，综合有b＞a＞c故选：C．
8．解：幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，说明了幂指数为偶数，在区间（0，+∞）上是单调增函数．说明是幂指数为正数，因此可对m取值，得到当m=1时，幂指数为4，符合题意，故解析式为 y=x4，
9．解：∵幂函数f（x）=xm﹣3（m∈N+）的图象关于y轴对称，∴m﹣3是偶数；又f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣3＜0，即m＜3；又m∈N+，∴m=1；∴不等式（a+1）＜（3﹣2a）化为＜，即＜，移项得﹣＜0，通分化简得＜0，
解得a＜﹣1，或＜a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）．
10.解：∵幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．又幂函数y=xa为奇函数，可知a≠2．
当a=时，其定义域关于原点不对称，应排除．当a=，1，3时，其定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x）．故a=，1，3时，满足条件．故满足条件的a的值的个数为3．
11.解：a=log38∈（1，2），b=21.1＞2，c=0.81.1∈（0，1）．∴c＜a＜b．故选：B．
12.解：指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=xa，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．
13.解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x1＜x2时，应有＞．故选：A．
14.③。
15.0＜a≤．．
16.解：（Ⅰ）由f（x）为幂函数知m2﹣3m+3=1，得m=1或m=2，…（2分）当m=1时，f（x）=x2，符合题意；当m=2时，f（x）=x3，不合题意，舍去．∴f（x）=x2．（Ⅱ）f（x）=x2，g（x）=loga（x2﹣ax）①当a＞1时，解：1＜a＜2； ②当0＜a＜1时，，a无解．综上所述，a的范围（1，2）
17.解：（1）设幂函数f（x）=xα，α为常数；∴f（）==，∴f（f（））==8，∴=3，解得α=±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α=﹣3，∴f（x）=x﹣3；
（2）函数f（x）=x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）=（﹣x）﹣3=﹣x﹣3=﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；
（3）函数g（x）=[f（x）]﹣ax=x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）=x2﹣ax的对称轴为x=，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）=1﹣a=﹣，解得a=，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）=﹣=﹣a2=﹣，解得a=±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单递减，g（x）的最小值为g（2）=4﹣2a=﹣，解得a=（不合题意，舍去）；
综上，a=．








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