第一章 函数与函数的基本性质 单元测试（解析版）

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函数与函数的基本性质 单元测试
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．函数的定义域为(　　)
A．且 B．且
C． D．
【解析】要使有意义，则：；
解得，且；
∴的定义域为：．
故选：A．
2．函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数中一次项系数为0，我们易得函数的图象关于轴对称，可排除；
当时，函数的图象开口方向朝下，顶点点在轴下方，函数的图象位于第二、四象限，可排除；
时，函数的图象开口方向朝上，顶点点在轴上方，可排除A；
故选：C．
3．已知函数，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，即.因为，所以，因为，所以为奇数.故答案为C.
4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】的定义域为；
满足；
解得；
的定义域为．
故选：A．
5．已知偶函数在上单调递减，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】为偶函数，所以
又在上单调递减，所以，即.
故选A.
6．已知是定义域为[a，a+1]的偶函数，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵f（x）在[a，a+1]上是偶函数，
∴﹣a＝a+1?a，
所以f（x）的定义域为[，]，
故：f（x）x2﹣bx+1，
∵f（x）在区间[，]上是偶函数，
有f（）＝f（），代入解析式可解得：b＝0；
∴．
故选：B．
7．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（　　）
A. B.
C. D.
【解析】函数为偶函数，则，
由，得，
函数在上单调递增，，即，
化简得，解得或，
因此，不等式的解集为，故选：B.
8．已知函数在区间上为增函数，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题f(x+2)是偶函数关于y轴对称，则f(x)关于x=2对称，为增函数，为减函数，则时，a的取值范围可为，选D.
9．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据题意，设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即时，当时，，
则的图象如图：

在区间上为减函数，
若，即，又由，
且，必有时，，
解得，
因此不等式的解集是，故选C.
10．具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①；②；③,其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A.①③ B.②③
C.①②③ D.①②
【解析】对于①，，满足题意；
对于②，，不满足题意；
对于③，,
即,
故，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故选:A.

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．已知函数则________；________.
【解析】因为函数则=0；.
12．已知＝，则＝_________；若，则________．

【解析】，故，
因为，故或者，解得或 .
综上，填，或.
13．已知函数，则f (2)=_______；若____________．
【解析】（1） ；
（2）当时， ， ；
当时， ； ，则舍去；
综上可知.

14．（已知函数在区间上的函数值恒为正，则b的取值范围为______．
【解析】为增函数，
∴若在区间上的函数值恒为正，
则只需要即可，
即，
即实数b的取值范围是，
故答案为：
15．已知，若a＜b＜c＜d，满足，则a+b+c+d的值等于_____．
【解析】根据题意，，则，即函数为偶函数，
，
若a＜b＜c＜d，满足，分析可得a+d＝b+c＝0，故a+b+c+d＝0；
故答案为：0
16．如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则__________；不等式的解集为__________．

【解析】（）由图可知， ，所以
（）由图可知，函数值小于等于2的解集为

17．已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
【解析】由题，，所以不等式可化为，当时，不等式等价于，所以，当时，不等式等价于，所以，综上所述，的取值范围为
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明．
【解析】（1）根据题意，为奇函数，则，
即，解可得；
（2）由（1）的结论，，在上为增函数；
证明：任取，，且，
则 ，
又由，，且，则，，，
则有，
所以函数在上单调递增．
19．已知函数的图象过点.
（1）求实数的值，并证明函数为奇函数；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论．


【解析】（1）根据题意，函数的图象过点
则有，解可得，则
其定义域为，且
则函数为奇函数
（2）根据题意，由（1）的结论，，则上为增函数
证明：设
则
又由，则，则
则函数在上为增函数
20．已知是定义在上的偶函数，当时,.
(1)求的解析式；
(2)若方程有4个解，求的取值范围.
【解析】 (1)由已知有：f(－x)=f(x),x∈R，且x≥0时，f(x)=x2－x，
设x＜0，则－x＞0，
f(x)=f(－x)=(－x)2－(－x)=x2+x.

(2)作出函数f(x)的大致图象：

当方程f(x)=k有4个解时，由图可知：.


21． 已知函数.
（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；
（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.
【解析】（Ⅰ）因为函数为偶函数，故，得.，因为，所以,故值域为：.
（Ⅱ）若在区间上是减函数，则函数对称轴
因为，所以时，函数递减，时，函数递增，故当时， ，，

由于 ，故在上的最大值为.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式，.
【解析】（1），；
（2）任取，

所以函数在上是增函数；
（3）.











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