2.1 指数函数 本节综合（解析版）

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指数函数 单元测试
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1.已知,则下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
故选：D
2.函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由为偶函数，所以排除，又，故选.
3．设则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
4.函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，
故选：A
5.已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在R上递减，且 ，所以 .又因为 在R上递增，且 ，所以 .所以.
故选：D.
6.设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

7．若对任意的都成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式对任意的都成立，即为在上恒成立，即指数函数在上的图象恒在直线的下方.当时，显然成立；当时，由的图象过点可得，由指数函数图象的变化规律可得，所以实数的取值范围为，故选C.
8.若，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.
9．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不等式恒成立等价于恒成立，即，
解得： ，故选B.
10．已知函数，若其值域为，则可能的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令则，对称轴为.
当时，，此时，不满足题意；
当时，，此时，不满足题意；
当时，，此时，不满足题意；
当时，，此时，满足题意.
故选D.
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．
【答案】3,4.
【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，
可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，
∴，，解得，.
12.若函数f(x)=3x＋3－x与g(x)=3x－3－x的定义域均为R，则f(x)为 （偶函数、奇函数），g(x)为 （偶函数、奇函数）.
【答案】偶函数，奇函数.
【解析】由偶函数满足公式，奇函数满足公式，对函数有满足公式所以为偶函数，对函数有，满足公式所以为奇函数，
故答案为偶函数，奇函数.
13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且．若当时，，则________.
【答案】
【解析】由可知,是周期函数,且,所以.
14．函数的定义域为__ _，值域为_ __.
【答案】
【解析】∵，
∴x2﹣1≠0，即x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}．
∴x2﹣1
∴
∴函数的值域为
故答案为：
15.函数的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
【答案】，.
【解析】函数，设t=,函数化为，外层函数是减函数，
而t=的减区间为，增区间为，
由内外层函数的单调性满足“同增异减”知答案为：，.
16．直线与函数 (且)的图象有且仅有两个公共点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系中作出与 (，且)的大致图象．
当时，如图2（1）所示．由图知两函数的图象若要有两个公共点，则，得，与矛盾，不合题意；
当时，如图2（2）所示，由图知满足题意时，，则.综上，a的取值范围是.

17. 若函数在上的最大值为，最小值为，且函数在上是减函数，则以________．
【答案】
【解析】①若，则函数在上单调递增，则由，得，此时最小值；②若，则函数在上单调递减，则由，得，解得，此时最小值为或， 函数在上是减函数， ，解得，综上， ，此时，故答案为.
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18.设函数且，.
（1）求的解析式；
（2）画出的图象（不写过程）并求值域.
【答案】（1）;（2） ．
【解析】（1）由，，得，解得，则.
（2）的图象如图，

由图象知的值域为.
19．（本小题12分）已知函数，，其中，且.
（1）若，求满足不等式的的取值的集合；
（2）求关于的不等式的解的集合.
【答案】（1）；（2）若，所求解集为；若，所求解集为.
【解析】（1）由不等式得
因为，所以，解得，
即所求解集为
（2）由不等式得
（i）若，则，即解得
（ii）若，则，即解得
综上，若，所求解集为；若，所求解集为
20．已知函数，为常数，且函数的图象过点．
（1）求的值；
（2）若，且，求满足条件的的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，解得．
（2）由（1）知，又，则，
即，即，
令，则，即，
又，故，即，解得 ．
21.（2019·甘肃省静宁县第一中学高考模拟（理））已知函数（a,b为常数且 ）的图象经过A(1,8)，B(3,32).
（1）试求a,b的值；
（2）若不等式在x∈(-∞,1]时恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)由题意，解得.所以.
(2)设,所以在上是减函数.
所以当时, .若不等式在时恒成立,则在时恒成，则.所以,的取值范围为 .
22.已知函数．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；
（Ⅲ）若，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ），或．
【解析】（Ⅰ）是奇函数．
证明：因为函数的定义域为，又，
所以是奇函数．
（Ⅱ）函数为上的增函数．
证明：任取，则．
因为，所以，
又，所以，，
所以．
所以函数为上的增函数．
（Ⅲ）由，可得．
由函数是奇函数，可得．
又函数为上的增函数，所以，即．
解得 ，或．

























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