2.2 对数函数 本节综合（解析版）

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对数函数 单元测试
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1.下列函数中，在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，奇函数，在上单调递增；
A：，奇函数，在分别单调递增；
B：，奇函数，在上单调递增；
C：，偶函数，在单调递减，单调递增；
D：，非奇非偶函数，在上单调递增；
所以与原函数有相同奇偶性和单调性的是B.故选B.
2.函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】的图象可由右移2个单位得到，所以得到函数图象如下：

所以不经过第二象限，故选B.
3.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，

则不等式即，即，
观察函数图像可得实数的取值范围是.
故选：A.
4.已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【解析】因为，
，
，即，
所以.
故选A.
5.在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
6.已知f(x)是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.0
【解析】因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，
所以恒成立，且，
即，解得，
所以，所以.
7.已知f（x）=，若f（a）+f（1）=，则a=（　　）
A. 1 B. －1 C. 或1 D. 或－1
【解析】
可得：或，解得或，故选：D．

8.已知，，，则（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
【解析】由题意，设，
则，，，据此有：，
则：，即，
据此可得：或，
其中：，据此可得：，
则.
本题选择C选项.
9.已知函数，若不等式在[3,4]上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由函数，可得，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
又当时，为单调递增函数，
所以当时，函数为单调递减函数.
因为在上有解，即有解，
又，即在上有解，
（1）当，即，即时，在上有解，
即在上有解，所以，所以；
（2）当，即，即时，在上有解，
即在上有解，所以，所以，
综上所述，实数的取值范围是，故选B.
10．设函数f（x）=1-，g（x）=ln（ax2-3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（　　）
A. 2 B. C. 4 D.
【解析】设的值域为A，
∵在[0，+∞）上的值域为，
∴?A，
∴至少要取遍（0，1]中的每一个数，
又
∴实数a需要满足a≤0或
解得.
∴故选：B．
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．已知函数，则__________；__________．
【解析】∵函数，
∴f（4）＝＝2，
＝f（）＝＝，
故答案为：(1). 2 (2).
12.若，则的定义域为____________.
【解析】要使函数有意义，需，
解得.
则的定义域为.
13.（2019年高考全国Ⅱ卷理）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
14．若函数（且）的值域为，则________；实数的取值范围为________.
【解析】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为.
15．已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___
【解析】∵实数且，，∴，∴，
∴，
∵，∴当时，；当时，无解，
综上的取值范围是．
故答案为，．
16.已知函数，则___，若，则所有符合条件的组成的集合为____.
【解析】（1）∵，
∴，
（2）如图，作出函数的图象，若，

则，
∴
故答案为：
17.当时，函数的图像在x轴下方，那么实数a的取值范围是___ ___.
【解析】由题意得，当时，函数的图象在轴下方，
当，时，且，所以，不满足题意；
当，时，函数为单调递增函数，
所以，
要使得函数的图象在轴下方，则，即，
即，解得，所以实数的取值范围是.
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18. 已知函数．
（1）判断奇偶性并证明你的结论；
（2）解方程．
【解析】（1）根据题意，为奇函数；
证明：，所以定义域为，关于原点对称；
任取，
则 ．
则有，为奇函数；
（2）由（1）知，
，即，
，
即，或，
又由，则有，
综上，不等式解集为
19．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集.
【解析】（1）由题意得：，解得
因为，所以
故的定义域为
（2）因为，所以，，
因为，所以，即
从而，解得
故不等式的解集为.
20．已知函数的图象过点．
Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．
【解析】函数的图象过点
即：

（Ⅰ）
则的定义域为，关于原点对称
且
故为偶函数
又由
故，即和值域为
（Ⅱ）若关于的方程在上有解
即，即在上有解
即在上有解
由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值；当或时，取最大值
故实数的取值范围是
21. 已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
【解析】（1）当a=3时，，
，得
（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，
当a＞1时，函数在上单调递增，，
得即a＞，又a＞1，故a＞1；
当0得；
又因为在上恒成立，故，即
综上：的取值范围
22.已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．


























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