2019苏科版七年级数学上册第2章有理数专题、绝对值中的分类讨论思想学案

绝对值中的分类讨论思想
【链接方法】
1.若（＞），则.
2.若＞，则；若＜，则.
3．灵活运用绝对值基本性质:
①④；⑤≤.
4.绝对值的非负性的应用：
①若，则；②，则.
【挑战例题】
【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数.
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
解：设甲数为x，乙数为y由题意得：，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
【例2】(山东省竞赛题)如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( )．
A．0 B． 1或一l C．2或一2 D．0或一2
因为a+b+c=0，所以a、b、c、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。
当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，
所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0
当一个正数两个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1，abc/|abc|=1，
所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=2
【例3】(1)(北京市“迎春杯”竞赛题)已知，且，
那么＝ ．
因为a>b>c， a最大为1， 所以b只能是-2， c-2所以a=1或-1 b=-2 c=-3所以a+b+c=-6或-4.
(2)(“希望杯”邀请赛试题)已知是有理数，，
且，那么 ．
｜a-b｜≤9，｜c-d｜≤16,
且 25 = |a-b-c+d| = |(a-b) + (d-c)| ≤ |a-b| + |d-c| ≤ 9 + 16
显然，上式中只能“=”成立
可见 a-b 与 d-c 同号，且 |a-b| = 9，|d-c| = 16
于是 |b-a| - |d-c| = 9 - 16 = -7
【例4】(“五羊杯”竞赛题)已知互为相反数，试求代数式：的值．
思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值．
根据已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，可得b=1，a=2
把a，b的值代入原式
=1/2+1/（2×3）+1/（3×4）+…+1/（2013×2014）
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2013-1/2014
=1-1/2014
=2013/2014
【例5】有3个的值使等式成立，则的值为 .
解：①若|x-2|-1=a，
当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；
当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；
②若|x-2|-1=-a，
当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；
当x＜2时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a=-1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．故答案为1．
变式：关于x的方程||x+3|-1|=a有三个解，则a的值为 1
解：①若|x+3|-1=a，
当x≥-3时，x+3-1=a，解得：x=a-2，a≥-1；
当x＜-3时，-x-3-1=a，解得：x=-a-4；a＞-1；
②若|x+3|-1=-a，
当x≥-3时，x+3-1=-a，解得：x=-a-2，a≤1；
当x＜-3时，-x-3-1=-a，解得：x=a-4，a＜1；
又∵方程有三个解，
∴可得：a=-1或1，而根据绝对值的非负性可得a≥0，
故答案为：1．
【提升能力】
1.=3，=2，且x>y，则x+y的值为（ ）
A、5 B、1 C、5或1 D、—5或—1
解：∵|x|=3，|y|=2， ∴x=±3，y=±2，
又∵x＞y， ∴x=3，y=±2， ∴x+y=5或x+y=1， 故答案为D．
2.若，则必有（ D ）
A、a>0,b<0 B、a<0,b<0 C、ab>0 D、
3．设，，则的值是（ ）．
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
原式= -a/|a| - b/|b| - c/|c| = -（a/|a|+ b/|b| + c/|c|）
因为a+b+c=0,abc＞0 所以a、 b、 c中一定有两个是负数，一个是正数。
所以 a/|a|、 b/|b|、 c/|c|中，有一个是1，两个是-1
所以 原式 =-（a/|a|+ b/|b| + c/|c|）= 1
4. 当b= 时，5-有最大值，最大值是 .
当b＝0.5时，|2b-1|有最小值为0，即5-|2b-1|有最大值为5
5.若与互为相反数，则 -1 .
6.已知＜0，＞0，且，则
2013 .
7．若为有理数，那么，下列判断中：
(1)若，则一定有； (2)若，则一定有； (3)若，则一定有；(4)若，则一定有．正确的是 (填序号).
解：（1）若a=-2，b=2，|a|=b，但是a≠b，故错误；
（2）若a=-3，b=-2，|a|＞|b|，但是a＜b，故错误；
（3）若a=-2，b=-4，|a|＞b，但是|a|＜|b|，故错误；
（4）若|a|=b，那么等号两边平方得a2=b2=（-b）2．故正确．故答案为：（4）
8．(江苏省竞赛题)设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是 ．
解：∵a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c，
∴a最小为1，c最大为9，
∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a，
∴|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是2×9-2×1=16．故答案为16．
9.使等式成立的的值有3个，则的值为 2 .
10.若，，且，求的值．
知x11.若，，且，求？
|a|=4， a=4 或 -4， |b|=2， b=2 或 -2，
ab>0, a=4,b=2 或 a=-4,b=-2 ，6 或 -6.
12.已知，，且，求的值．
|a|=2， ∴a=2或-2， |b|=4，∴b=4或-4，
又∵a+b>0 ∴a=2， b=4或a=-2， b=4， ∴=16或8.
13．有理数均不为零，且，设，
试求代数式的值．
解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，
又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，
∴a=﹣（b﹣c），b=（c+a），c=﹣（a+b），
即，
∴中必有两个同号，另一个符号其相反，
即其值为两个+1，一个﹣1或两个﹣1，一个+1，
∴，，
∴x19+99x+1914=1+99+1914=2014．
14．(全国初中联赛题)求满足的非负整数对(a，b)的值．
解：设a＞b，则|a-b|+ab=a-b+ab=1，
∴a（1+b）=1+b，
∴a=1，
∵b≥0，
∴b=0．
同理，当a＜b，原式=b（a+1）=a+1，
∴b=1，a=0．
当a=b时，a=b=1．
∴答案为（1，1），（1，0），（0，1）．
15．若为整数，且，求的值．
解：a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为1，
所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1，①
或|a-b|19=1且|c-a|99=0．②
由①知a-b=0且|c-a|=1，所以a=b，于是|b-c|=|a-c|=|c-a|=1；
由②知|a-b|=1且c-a=0，所以c=a，于是|b-c|=|b-a|=|a-b|=1．
无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1，
所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2．