[体系构建]
[核心速填]
一、简谐运动
1．特征
(1)受力特点：F＝－kx
(2)运动特点：a＝－(变加速运动)
(3)位移随时间的变化规律：正弦函数规律x＝Asin(ωt＋φ)．
2．描述
(1)物理量
①位移x：以平衡位置为参考点
②振幅A：离开平衡位置的最大距离
③周期T：完成一次全振动需要的时间
④频率f：单位时间内完成全振动的次数
⑤相位：描述周期性运动在各时刻所处的状态．
(2)振动图象
①正弦(或余弦)
②物理意义：描述振动物体的位移随时间的变化
③图象信息：振幅A、周期T、各时刻位移x.
3．振动的能量：动能和势能之和不变．
二、两个理想化模型
1．弹簧振子：由弹簧和小球组成，忽略阻力，水平方向放置的弹簧振子可由弹簧弹力提供回复力的理想化模型．
2．单摆：
(1)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力
(2)做简谐运动的条件：θ≤5°
(3)等时性
(4)周期公式：T＝2π，其中l为等效摆长
(5)实验：用单摆测重力加速度：g＝.
三、外力作用下的振动
1．阻尼振动
(1)振幅变化特点：不断减小
(2)能量变化特点：机械能转化为其他形式的能．
2．受迫振动
(1)周期性驱动力作用下的振动
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率
(3)共振：当f驱＝f固时，振幅最大．
简谐运动的周期性和对称性
1．做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．
2．做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在：
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过该段的时间相等．
【例1】 一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经多长的时间第三次经过P点？
[解析] 若质点沿图中①的方向第一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历时2 s，则由其对称性知P、B间往返等时，各为1 s，从而可知＝4 s，周期T＝16 s．第三次再过P点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期T减去P、B间往返的2 s，则需时t＝16 s－2 s＝14 s.
若沿图中②的方向第一次过P点，则有
3－tOP＝2＋tPO＋tOP＝，而tOP＝tPO
由上两式可解得tOP＝tPO＝ s，T′＝ s
则质点第三次过P点历时t′＝T′－2 s＝ s.
[答案] 14 s或 s
1．光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
[解析] 根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
[答案] 0.4 2.5 150
简谐运动的图象
振动图象表示振动质点的振动位移随时间的变化规律，图象的形状与起始时刻的选取和正方向的规定有关，从图象中可获得的信息：
1．振幅A和周期T.
2．任一时刻的速度、加速度、回复力的方向及位移的大小和方向．
3．判定任意一段时间内v、a、F、x、Ek、Ep的变化趋势．
利用图象解题时，要深刻理解图象的意义，并能做到见图象而知实际振动过程．同时也能由实际振动过程回归图象．
【例2】 如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
E．t＝0.8 s时振动系统的机械能最小
ABD [t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s时到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确，简谐运动机械能守恒，选项E错误．]
2.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是0.25 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零
E．t＝2 s时，质点的振幅为－2 cm
ABC [质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能为零，也可能最大，选项A、B、C正确．]
单摆周期公式的应用
1．摆钟的快慢及调节方法
(1)计时原理：摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动，从而带动秒针、分针、时针转动实现的，因此钟摆振动的周期变化就反映了摆钟的快慢．如钟摆振动周期变大，则摆钟变慢，摆钟时针转动一圈的时间变长．
(2)摆钟快慢产生的原因：一是g值的变化，如摆钟地理位置的变化等；二是摆长的变化，如热胀冷缩等原因．摆钟周期可以用公式T＝2π计算．
(3)摆钟快慢的调整．
①摆钟变快说明周期变小，应增大摆长．
②摆钟变慢说明周期变大，应减小摆长．
2．在复合场中的单摆
单摆处在电场或磁场中，由于摆球带电，摆球会受电场力或磁场力，此时单摆的周期是否变化应从回复力的来源看，如果除重力外，其他的力参与提供回复力，则单摆周期变化，若不参与提供回复力，则单摆周期不变．
【例3】 如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d?l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
[解析] 本题应理解等效摆长及单摆周期公式中的摆长．
(1)小球以O′为圆心做简谐运动，所以摆长l＝l0＋，振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π.
(2)小球以O为圆心做简谐运动，摆长l′＝l0＋l0sin α＋，振动周期为T2＝2π＝2π＝2π.
[答案] (1)2π (2)2π
[一语通关]
不同的摆动方向，等效摆长不同，振动周期也就不同.
3.如图所示，处于竖直平面内的光滑绝缘半圆形槽的半径为R，一质量为m的小球于槽中P点由静止释放．
(1)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在水平向右的匀强电场中，且小球所受电场力的大小等于小球所受重力的大小，则小球做简谐运动的周期为多大？
(2)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在垂直纸面向里的匀强磁场中，且小球的运动始终没有离开圆弧，则小球做简谐运动的周期又为多少？
[解析] (1)整个装置处于水平向右的匀强电场后，小球的受力如图所示，其平衡位置和圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，
则其“等效重力加速度”g′＝＝＝g，
所以T＝2π.
(2)由于小球所受的洛伦兹力始终垂直于运动方向，所以洛伦兹力不提供回复力，因此小球做简谐运动的周期为T＝2π.
[答案] (1)2π (2)2π
[一语通关]
同一单摆放到不同环境中，等效重力加速度不同，导致周期不同.
课件37张PPT。第十一章 机械振动章末复习课平衡位置 最大距离 全振动 次数 状态 正弦 余弦 位移 时间 周期T 动能和势能 阻力 回复力 切线方向 5° 等效 减小 其他 驱动力 简谐运动的周期性和对称性简谐运动的图象单摆周期公式的应用Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题包括10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的5个选项中，有3项符合题目要求，选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分．每选错1个扣3分，最低得分为0分)
1．做简谐运动的物体经过平衡位置时( )
A．速度为零 B．回复力为零
C．加速度为零 D．位移为零
E．动能最大
BDE [简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，而物体在平衡位置时加速度不一定为零．例如，单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，位移为零．]
2．一个水平弹簧振子的振动周期是0.025 s，当振子从平衡位置向右运动，经过0.17 s时，振子运动情况是( )
A．正在向右做减速运动
B．正在向右做加速运动
C．位移正在减小
D．正在向左做加速运动
E．势能正在减小
BCE [＝＝6，T在T～T之间，故0.17 s时振子从最大位移处正向右加速接近平衡位置．]
3．一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是( )
A．在t从0到2 s时间内，弹簧振子做减速运动
B．在t1＝3 s和t2＝5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反
C．在t1＝5 s和t2＝7 s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同
D．在t从0到4 s时间内，t＝2 s时刻弹簧振子所受回复力做功功率最小
E．在t从0到4 s时间内，回复力的功率先增大后减小
ACD [由于F＝－kx，由F-t图象知，在0到2 s时间内，弹簧振子位移变大，离开平衡位置做减速运动，A对；在t1＝3 s和t2＝5 s时，图象斜率相同，说明速度大小相等，方向相同，B错；t1＝5 s和t2＝7 s时位移大小、方向都相同，C对；在0到4 s时间内，t＝2 s时刻弹簧振子回复力最大，在端点位置，速度为零，功率最小，D对E错．]
4.如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s
B．振幅为8 cm
C．第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
E．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
BCD [根据图象，周期T＝4 s，振幅A＝8 cm，A错误，B正确；第2 s末振子到达负的最大位移处，速度为零，加速度为正向的最大值，C正确；第3 s末振子经过平衡位置，速度达到最大值，且向正方向运动，D正确；从第1 s末到第2 s末振子经过平衡位置向下运动，速度逐渐减小，做减速运动，E错误．]
5.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，过周期，振子具有正方向的最大速度．那么下面五个图象中哪个能够正确反映振子的振动情况( )
A B C D E
ABD [t＝T时，振子具有正向的最大速度，则t＝0时，振子应处于负向最大位移处，此时，回复力和加速度正向最大．故选项C、E错，A、B、D对．]
6.一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( )
A．频率是2 Hz
B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负
D．t＝0.5 s时，质点所受合外力为零
E．t＝0.5 时回复力的功率为零
BCE [由简谐运动的图象可判断出振子的周期为2 s，则频率f＝＝0.5 Hz；该质点的振幅为5 cm；1.7 s时位移为负值，则加速度为正，根据图象走向可判断速度为负；0.5 s时，振动质点位于平衡位置，回复力为零，但合外力不一定为零(如单摆在平衡位置时合外力指向圆心)．]
7.如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后，则( )
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为T2
C．弹簧振子的振动频率为
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
E．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
BCE [弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此振动周期为T2，A错，B、C对；由于T2＞T1，故欲使振幅增大，应使T2减小，即转速应增大，D错，E对．]
8.如图所示，用绝缘细线悬挂的单摆，摆球带正电，悬挂于O点，摆长为l，当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场，磁场方向垂直于单摆摆动的平面向里，A、B点分别是最大位移处．下列说法中正确的是( )
A．A点和B点处于同一水平面
B．A点高于B点
C．摆球在A点和B点处线上的拉力大小相等
D．单摆的振动周期仍为T＝2π
E．单摆向右或向左摆过D点时，线上的拉力大小相等ACD [摆球运动过程中机械能守恒，所以A、B在同一高度．选项A正确，B错误；球在B点不受洛伦兹力，与球在A点时受拉力大小相等，选项C正确；球在磁场中运动时虽然受洛伦兹力，但洛伦兹力总与速度方向垂直，不能提供回复力，所以不改变振动的周期，选项D正确；单摆向右或向左摆过D点时，速度大小相等，但洛伦兹力的方向相反，所以线上的拉力不相等，选项E错误．]
9.如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
E．0.6 s内物块的位移为－0.1 m
ABE [由物块简谐运动的表达式
y＝0.1sin(2.5πt) m知，ω＝2.5π，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A、E正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同．故选项C、D错误．]
10．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知( )
A．甲速度为零时，乙速度最大
B．甲加速度最小时，乙速度最小
C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
D．两个振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
E．两个振子的振幅之比为A甲∶A乙＝2∶1
ADE [根据题图所示的甲、乙两弹簧振子的振动图象可知，甲速度为零时，乙刚好运动到平衡位置，速度最大，选项A正确；甲位于平衡位置时加速度最小，此时乙也位于平衡位置处，则速度最大，选项B错误；t＝1.0 s时，两弹簧振子的回复力都为零，选项C错误；两个振子的振幅之比为A甲：A乙＝10∶5＝2∶1，两个振子的振动周期之比T甲∶T乙＝2.0∶1.0＝2∶1，由周期与频率成反比可知两个振子的振动频率之比f甲∶f乙＝T乙∶T甲＝1∶2，选项D、E正确．]
二、非选择题(共7小题，共50分，按题目要求作答)
11．(6分)某同学在进行研究弹簧振子的周期和小球质量的关系的实验时，利用如图甲所示装置进行了如下实验：让弹簧振子穿过一光滑的水平横杆，在弹簧振子的小球上安装一支笔，下面放一条纸带．当小球振动时，垂直于振动方向以恒定的加速度拉动纸带，加速度大小为a，这时笔在纸带上画出如图乙所示的一条曲线，请根据图乙中所测得的长度s1、s2，写出计算弹簧振子的周期的表达式：T＝________.
[解析] 由于纸带做匀加速直线运动，且运动s1和s2所用时间均等于弹簧振子的振动周期T，由匀加速直线运动规律知s2－s1＝aT2，所以T＝ .
[答案]
12．(6分)在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
[解析] ①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)
[答案] 见解析
13．(8分)某实验小组在“利用单摆测定当地重力加速度”的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
[解析] (1)游标卡尺读数为0.9 cm＋8×0.1 mm＝0.98 cm.(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能够将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大、体积较小的摆球，故D错误．
[答案] (1)0.98 (2)C
14．(8分)某同学利用单摆测量重力加速度．
(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．
A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.
[解析] (1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些．选项B、C正确．
(2)设单摆的周期为T1时摆长为L1，周期为T2时摆长为L2
则T1＝2π ①
T2＝2π ②
且L1－L2＝ΔL ③
联立①②③式得g＝.
[答案] (1)BC (2)
15.(6分)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔．在竖直面内放置有一记录纸．当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图求振动的周期和振幅．
[解析] 设振动的周期为T，由题意可得：在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x0，故T＝.设振动的振幅为A，则有：2A＝y1－y2，
故A＝.
[答案]
16．(8分)如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100 g，mB＝500 g，系统静止时弹簧伸长x＝15 cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间绳，则A在竖直方向做简谐运动，求：
(1)A的振幅为多大．
(2)A的最大加速度为多大．(g取10 m/s2)
[解析] (1)设只挂A时弹簧伸长量x1＝.由(mA＋mB)g＝kx，得k＝，即x1＝x＝2.5 cm.振幅A＝x－x1＝12.5 cm.(2)剪断细绳瞬间，A受最大弹力，合力最大，加速度最大．F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，am＝＝5g＝50 m/s2.
[答案] (1)12.5 cm (2)50 m/s2
17.(8分)如图所示，摆长为L的单摆竖直悬挂后摆球在最低点O距离地面高度为h，现将摆球拉至A点无初速度释放，摆角为θ(θ＜5°)．当摆球运动到最低点O时，摆线突然断裂．不计空气阻力，重力加速度为g，求摆球从A点开始运动到落地经历的时间．
[解析] 单摆的周期T＝2π
摆线断裂后，由h＝gt2得：
下落时间t＝
t总＝t＋＝＋
[答案] ＋
