高中物理教科版选修3-5学案第一章 碰撞与动量守恒 　弹性碰撞和完全非弹性碰撞 Word版含答案

一、弹性碰撞
碰撞时，内力是弹性力，只发生机械能的转移，系统内无机械能损失，叫做弹性碰撞．若质量分别为m1、m2，速度分别为v1、v2的两个物体在水平面上发生弹性碰撞，依动量守恒且碰撞前后的总动能相等，
有：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′……(1)
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2……(2)
解(1)(2)得：v1′＝，
v2′＝
讨论：
(1)若m1＝m2，则有v1′＝v2，v2′＝v1，即碰后彼此交换速度，实现动量和动能的交换；
(2)若碰前m2是静止的，即v2＝0.
①m1>m2，则v1′>0，v2′>0，碰后两者同向运动；
②m10，碰后，m1反向弹回，m2沿m1碰前的速度方向运动；
③m1(m2，则v1′≈－v1，v2′≈0，即质量很小的物体以原速率反弹，质量很大的物体仍然静止．
④m2(m1，则v1′≈v1，v2′≈2v1，即质量很大的运动物体碰后速度几乎不变，而质量很小的静止物体会以2倍运动物体的初速度沿同一方向运动．
二、完全非弹性碰撞
发生完全非弹性碰撞时，内力是完全非弹性力，碰后两物体粘连在一起或者虽未粘连但以相同的速度运动．这种碰撞，只有动量守恒，机械能损失最大，损失的机械能转化为内能．
有：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，
ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2.
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例1如图所示，光滑水平地面上静止放置两个由弹簧相连的木块A和B，一质量为m的子弹，以速度v0水平击中木块A，并留在其中，A的质量为3m，B的质量为4m.
(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能；
(2)何时B的速度最大，最大速度是多少？
【解析】(1)从子弹击中木块A到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程：一是子弹与木块A的碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块A组成的整体与木块B通过弹簧相互作用的过程，动量守恒，系统机械能守恒．子弹打入：mv0＝4mv1
打入后弹簧由原长到最短：4mv1＝8mv2
由机械能守恒有：×4mv＝×8mv＋Ep
解得Ep＝mv.
(2)从弹簧原长到被压缩至最短再恢复原长的过程中，木块B一直做变加速运动，木块A一直做变减速运动，相当于弹性碰撞，因质量相等，子弹和A组成的整体与木块B交换速度，此时B的速度最大．设弹簧弹开时A、B的速度分别为v1′，v2′，有
4mv1＝4mv1′＋4mv2′
×4mv＝×4mv1′2＋×4mv2′2
解得：v1′＝0，v2′＝v1＝.
【小结】子弹射入A的过程，是完全非弹性碰撞过程，只有动量守恒．子弹和木块一起压缩弹簧到三者具有相同速度时，弹簧第一次最短，此过程也是完全非弹性碰撞过程，动量守恒，系统动能损失最多，损失的动能转化为弹簧的弹性势能．从开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复到原长时，三者之间的作用又可视为弹性碰撞过程，动量守恒，总动能不变．
例2如图所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同．现使a以初速度v0向右滑动．此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．
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【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为μ.若要物块a、b能够发生碰撞，应有
mv>μmgl　①
即μ<　②
设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为v1.由能量守恒有
mv＝mv＋μmgl　③
设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有
mv1＝mv1′＋mv2′　④
mv＝mv1′2＋v2′2　⑤
联立④⑤式解得v2′＝v1　⑥
由题意知，b没有与墙发生碰撞，
由功能关系可知v2′2≤μmgl　⑦
联立③⑥⑦式，可得μ≥　⑧
联立②⑧式，a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞的条件≤μ<　⑨
/针对训练　
1．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，B球静止，A球向B球运动，发生正碰．已知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时弹性势能为Ep，则碰前A球的速度为__2__．
【解析】设碰前A球速度为v0，根据动量守恒定律有mv0＝2mv，则压缩最紧(A、B有相同速度)时的速度v＝，由系统机械能守恒有mv＝×2m×＋Ep，解得v0＝2.
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2．如图所示，光滑轨道的下端离地0.8 m，质量为m的A球从轨道上端无初速释放，到下端时与质量也为m的B球正碰，B球碰后做平抛运动，落地点与抛出点的水平距离为0.8 m，求A球释放的高度h的范围．(g＝10 m/s2)
【解析】B球做平抛运动，有x＝vB′t，
y＝gt2
得vB′＝＝x＝0.8m/s＝2 m/s
A球和B球在碰撞中若无能量损失，vA′＝0，由动量守恒定律，有mvA1＝mvB′，vA1＝vB′＝2 m/s
由机械能守恒定律，有mgh1＝mv
h1＝＝ m＝0.2 m
A球和B球在碰撞中若能量损失最大，则vA′＝vB′，由动量守恒定律，有
mvA2＝(m＋m)vB′，vA2＝2vB′＝2×2 m/s＝4 m/s
根据机械能守恒定律，有mgh2＝mv
h2＝＝ m＝0.8 m.
所以A球的释放高度为0.2 m≤h≤0.8 m.
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3．在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球A的前方O点有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图所示．小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比.
【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变．根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1.
设碰撞后小球A和B的速度分别为v1和v2，在碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等．
m1v0＝m1v1＋m2v2　①
m1v＝m1v＋m2v　②
利用＝4，可解出＝2.
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4．如图所示，一质量m2＝0.25 kg的平顶小车，车顶右端放一质量m3＝0.2 kg的 小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数μ＝0.5，小车静止在光滑的水平轨道上．现有一质量m1＝0.05 kg的子弹以水平速度v0＝30 m/s 射中小车左端，并留在车中．子弹与车相互作用时间很短．若使小物体不从车顶上滑落，求：
(1)物体与车的共同速度；
(2)小车的最小长度．(g取10 m/s2)
【解析】(1)对整体由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2＋m3)v2
v2＝＝ m/s＝3 m/s
(2)对m1和m2由动量守恒定律得m1v0＝(m2＋m1)v1
v1＝＝ m/s＝5 m/s
对子弹射入小车后与m3组成的系统，依能量守恒有：
μm3gL＝(m1＋m2)v－(m1＋m2＋m3)v
将上述物理量代入得小车最小长度为L＝1.5 m.
5．如图所示，甲车质量为m，车顶用长为l且不能伸长的细线系一质量为m的小球(甲车质量不包括球)共同以速度v0在光滑平直轨道上做匀速运动，某时刻正好与一质量也为m的静止乙车厢相挂接(碰撞时间不计，重力加速度为g)，求：
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(1)两车碰撞过程中损失的机械能；
(2)碰撞瞬间细线的拉力大小；
(3)小球能摆起的最大高度．(设球不会碰车板且不超过水平位置)
【解析】(1)两车碰撞时，甲、乙两车的系统动量守恒，
有mv0＝2mv1
则ΔE＝mv－·2mv＝mv
(2)两车碰后瞬间，小球速度仍为v0，相对悬点的速度为v＝v0－v1＝
对小球，有F－mg＝m，得F＝mg＋m.
(3)两车碰后，三物系统机械能守恒，水平方向动量守恒，小球摆至最高点时三者速度相同，有2mv0＝3mv2
mv＋·2mv＝·3mv＋mgh
即mgh＝mv＋·2m()2－·3m(v0)2＝mv
则h＝.