24.3.1锐角三角函数 导学案
课题
锐角三角函数
单元
24
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.使学生掌握锐角的三种三角函数的定义.
2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围.
重点难点
重点：三角函数的定义及三角函数值的求法
难点：引入参数三角函数值.
教学过程
知识链接
如图，已知B1C1⊥AC2，B2C2⊥AC2，求证：＝
/
合作探究
一、教材105页
我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC∽△A′B′C′．
按的比例，就一定有，就是它们的相似比．
当然也有．
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图25．2．1）．
前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
二、教材106页思考
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？
三、教材106页探索
观察图25．2．2中的Rt△、Rt△和Rt△，易知
Rt△∽Rt△_________∽Rt△________，
所以＝_________＝____________．
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．
我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA，即
sinA＝，cosA＝，
tanA＝．
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
＝1
四、教材107页例题
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15,BC=8.试求出图中∠A的三个三角函数值。
解：
自主尝试
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，tanA=_______．
【方法宝典】
利用三角函数的表示方法解题即可
当堂检测
1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（ ）
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定
2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则
cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．
/
3.已知：α是锐角，tanα=，则sinα=_____，cosα=_______．
4．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角α的三个三角函数值．
/
5.在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
图形的平移，对称以及扩大和缩放
参考答案：
当堂检测：
A 2．C
3．
4．sinα=，cosα=，tanα=
5．或
/
华师大版数学九年级上24.3.1锐角三角函数教学设计
课题
锐角三角函数
单元
24
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.使学生掌握锐角的三种三角函数的定义.
2.使学生掌握锐角三角函数的取值范围.
过程与方法目标
1.使学生会利用三角函数的定义，表示出直角三角形中某个锐角的三角函数值.
2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值.
3.使学生学会运用参数法求三角函数值
情感态度与价值观目标
培养学生的数形结合的思想和探索的精神
重点
三角函数的定义及三角函数值的求法
难点
引入参数三角函数值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆的高度了。如图
/
师：你想知道小明怎样算出的吗？
这节课，我们就来研究一下
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
探索：
师：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？
生：如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示
/
师：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们相似吗？
/
生：Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以
??
1
??
1
????
1
=
??
??
??
??
????
??
=
??
3
??
3
????
3
.
师：可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.
师：想一想，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？
生：我认为应该是确定的.
课件展示：
/
sin A=
∠??的对边
斜边
=
????
????
=
??
??
， sinA 叫做∠A的正弦函数
cos A=
∠??的邻边
斜边
=
????
????
=
??
??
，cos A 叫做∠A的余弦函数
tan A=
∠??的对边
∠??的邻边
=
????
????
=
??
??
，tan A叫做 ∠A的余切函数
师：正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.
师：我们需要注意
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.
3. sin A、cos A、tan A都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解
4.sin A、cos A、tan A中∠A的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数字表示的角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成sin1.
生：明白了
师：思考，你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与 cosA的取值范围吗？
生：0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
/=1
师：tan A与cot A之间有什么关系？
生：tan A?cot A=1
课件展示
如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.
/
学生回顾直角三角形的相关知识
学生观察回答问题
学生思考，得出三角函数
学生思考，利用三边关系得出取值范围.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是( )
/
A．
4
5
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
3
答案：C
2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是( )
/
A．
3
4
B．
4
3
C．
3
5
D．
4
5
答案：D
3.已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为________．
答案：
11
5
4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA＝__；cosA＝__；tanA＝____．
答案：
10
10
，
3
10
10
，
1
3
5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求cosA和cosB的值．
答案：
解：AB=
????
2
+
????
2
=
2
2
+
1
2
=
5
cosA=
????
????
=
2
5
=
2
5
5
cosB=
????
????
=
1
5
=
5
5
拓展提升
已知：如图，△ABC中，AC=10，sinC=
4
5
，sinB=
1
3
，求AB．
/
答案：
解：作AD⊥BC于D点，如图所示， 在Rt△ADC中，AC=10，sinC=
4
5
， ∴AD=ACsinC=10×
4
5
=8， 在Rt△ABD中，sinB=
1
3
，AD=8， 则AB=
????
????????
=24．
中考链接
1.【汕尾中考】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
3
5
，则cosB的值是( )
A．
4
5
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
3
答案：B
2.【桂林中考】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．
/
答案：
3
4
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答.
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层作业可以使各个层次的学生都很好的掌握
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
锐角三角函数
sinA=
∠??的对边
斜边
=
????
????
=
??
??
cosA=
∠??的邻边
斜边
=
????
????
=
??
??
tanA=
∠??的对边
∠??的邻边
=
????
????
=
??
??
/
课件19张PPT。24.3.1 锐角三角函数华师大版 九年级上 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 1.5米10米? 你想知道小明怎样算出的吗？情境导入我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.∠A的对边a 直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？新知讲解观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们相似吗？Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.???新知讲解对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？想一想新知讲解??sinA 叫做∠A的正弦函数cos A 叫做∠A的余弦函数tan A叫做 ∠A的余切函数?新知讲解正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.3. sin A、cos A、tan A都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解.4. sin A、cos A、tan A中∠A的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数字表示的角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成sin1.新知讲解注意：1、你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与 cosA的取值范围吗？0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 2、tan A与cot A之间有什么关系？tan A?cot A=1 =1新知讲解思考如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.?8???例题解析课堂练习?CD 3.已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为________．
4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA＝________；cosA＝________；
tanA＝________．
????5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求cosA和cosB的值．???拓展提高??D?中考链接B?锐角三角函数课堂总结??????分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数.0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 =12、直角三角形的三边关系得到sinA与 cosA的的关系1、三角函数的定义板书设计作业布置?谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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