高中物理教科版必修二学案：第2章 2.2圆周运动的向心力 Word版含答案

2.　匀速圆周运动的向心力和向心加速度
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.通过对圆周运动实例的分析，归纳总结物体做圆周运动的条件，理解向心力的概念．(重点)
2．归纳影响向心力大小的相关因素，理解公式确切的含义．(重点)
3．理解向心加速度的概念，会计算向心加速度的大小．(难点)
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受合力方向始终指向圆心，这个合力就叫做向心力．
2．方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直．
3．作用：向心力只改变速度方向，不改变速度大小．
4．来源：向心力是按照力的作用效果命名的．可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供．
5．向心力的大小
(1)实验探究
①探究目的：探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
②实验方法：控制变量法．
③实验过程
a．保持ω、r相同，研究向心力F与小球质量之间的关系．
b．保持m、r相同，研究向心力F与角速度ω之间的关系．
c．保持ω、m相同，研究向心力F与半径r之间的关系．
④实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比．
(2)向心力的公式：F＝mω2r或F＝m.
二、向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，由向心力产生的加速度，叫做向心加速度．
2．大小
a＝ω2r＝.
3．方向
向心加速度的方向时刻与速度方向垂直，且始终指向圆心．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力． (　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力． (　　)
(3)向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力． (　　)
(4)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．(　　)
(5)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变．
(　　)
(6)由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比． (　　)
【提示】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是(　　)
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD　[匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对、B错；由合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错、D对．]
3．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ
D．以上说法都正确
BC　[小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.]
4．如下列选项所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向可能正确的是(　　)
B　[做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．]
对向心力的理解
1．向心力大小的计算
F＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力．
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内做圆周运动至最高点时
绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】　如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．P受的摩擦力方向为a
B．P受的摩擦力方向为b
C．P受的摩擦力方向为c
D．P受的摩擦力方向可能为d
思路点拨：
C　[物块P在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，而重力、支持力合力为零，故物块P的向心力应由指向圆心的静摩擦力来提供，故选C.]
向心力与合外力判断方法
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．
1.有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车(可视为质点)先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过加速，圆周运动半径亦逐步增大，最后能以较大的速度在垂直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做圆周运动的向心力是(　　)
A．筒壁对车的摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
B　[当车子和人在垂直的壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力是由筒壁对车的弹力来提供，所以正确选项为B.]
对向心加速度的理解
1．方向
向心加速度总是沿着圆周运动的半径指向圆心，不论加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．
2．大小
(1)向心加速度的几种表达式
(2)a与r的关系图像如图所示
(3)理解
①当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增加或周期的减小而增大．
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
【例2】　如图所示，长为l的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ角，求小球运动的向心加速度．
[解析]　方法一：小球在水平面内做匀速圆周运动，受力分析如图所示，
小球重力和细线拉力的合力提供小球的向心力，
根据牛顿第二定律，有mgtan θ＝ma
解得a＝gtan θ
方法二：小球在水平面内做匀速圆周运动，根据向心加速度的公式，有a＝ω2r
根据几何关系，有r＝lsin θ
联立上式，解得a＝ω2lsin θ.
[答案]　gtan θ(或ω2lsin θ)
分析向心加速度时的两点注意
(1)向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先确定各点是线速度相等，还是角速度相同．在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
圆周运动中的动力学问题
1．圆周运动是牛顿第二定律应用的进一步延伸
将F＝ma应用于圆周运动，Fn为向心力，an为向心加速度，即得Fn＝man＝m＝mω2R＝mR.
2．解决圆周运动问题的基本思路
(1)明确研究对象．
(2)分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动还是变速圆周运动)；确定轨道所在的平面、圆心位置和半径，从而确定向心力的方向．
(3)分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在径向求合外力(即选定向心方向为正方向)．
(4)由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式．
(5)求解或进行必要的讨论．
【例3】　有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
思路点拨：对飞椅受力分析，求得椅子受到的合力的大小，根据向心力的公式可以求得角速度ω与夹角的关系．
[解析]　设转盘转动角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，对飞椅受力分析如图．则座椅到中心轴的距离为R＝r＋Lsin θ①
对座椅应用牛顿第二定律有Fn＝mgtan θ＝mRω2②
联立①②两式得ω＝.
[答案]　
求解圆周运动的动力学问题做好“三分析”
一是几何关系分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径，做圆周运动的圆平面．
二是运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力公式．
三是受力分析，目的是利用力的合成与分解的知识，表示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力．
3.如图所示，细绳一端系着质量m＝0.1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M＝0.5 kg的物块B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r＝0.2 m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力FN＝3.0 N，求物块A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)
[解析]　对A、B受力分析如图所示，设细绳的拉力为F，对A应用牛顿第二定律有F＝m
对B列平衡方程有F＋FN＝Mg
解得A的速度大小为v＝2 m/s
A的角速度大小为ω＝＝10 rad/s.
[答案]　2 m/s　10 rad/s
1．(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是(　　)
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
BC　[做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．]
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的选项是(　　)
C　[由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．(多选)如图为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　)
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC　[由a＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，向心加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝ω2r知，角速度不变时，向心加速度与半径成正比，故C正确，D错误．]
4.如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是 (　　)
A．FA＞FB＞mg
B．FA＜FB＜mg
C．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB＞mg
A　[当天车突然停止时，A、B两物体将做圆周运动，在最低点时，向心力由吊绳的拉力与重力的合力提供，即F－mg＝m，故F＝mg＋m，所以有FA＞FB＞mg.]
5．一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
(1)链球的线速度；
(2)链球做圆周运动需要的向心力．
[解析]　(1)链球的角速度ω＝，故线速度v＝rω＝＝3π m/s＝9.42 m/s.
(2)根据向心力公式F＝可得F＝ N＝236.6 N.
[答案]　(1)9.42 m/s　(2)236.6 N