高中物理教科版必修二学案：第2章2.3匀速圆周运动的实例分析 Word版含答案

3.　圆周运动的实例分析
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道向心力可以由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源．(难点)
2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例．(重点、难点)
3.了解什么是离心运动，知道物体做离心运动的条件.
一、汽车过拱形桥
1．向心力来源：重力和桥面的支持力的合力提供向心力．
2．动力学关系
(1)如图甲所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg－N＝，N＝mg－m，由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力．当v＝时，其压力为零．
甲　　　　　　　　乙
(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为N－mg＝，N＝mg＋m，汽车对桥的压力大小N′＝N.汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力．
二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示．
1．向心力来源：重力和悬线的拉力的合力提供．
2．动力学关系
mgtan_α＝mω2r，又r＝lsin_α，则ω＝，周期T＝2π
所以cos α＝，由此可知，α与角速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大．
三、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到限定方向的作用，如果火车在水平路基上转弯，外侧对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨略高于内轨．
2．向心力的来源
根据轨道半径和规定的行驶速度适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．
四、离心运动
1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心的运动．
2．原因：合外力提供的向心力消失或不足．
3．离心机械：利用离心运动的机械．
4．应用：脱水筒、离心机．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车驶过凸形桥最高点时，对桥的压力可能等于零． (　　)
(2)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力． (　　)
(3)体重越大的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角越小． (　　)
(4)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的． (　　)
(5)火车按规定的速率转弯时，内外轨都不受火车的挤压作用．
(　　)
(6)做离心运动的物体一定不受外力作用． (　　)
(7)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动．
(　　)
【提示】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×
2．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　)
A．A点，B点　　　　 B．B点，C点
C．B点，A点 D．D点，C点
C　[战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.]
3．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
D　[在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据F＝mω2r判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确．]
4.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
AC　[汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当vvc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．]
竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型
如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为零．
(2)v>时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
(3)v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
2．轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
在最高点时：
(1)v＝0时， 小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0(3)v＝时，小球只受重力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
【例1】　(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示．则(　　)
甲　　　　　 乙
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
思路点拨： 由于杆既可以提供支持力，又可以提供拉力，故小球通过最高点时的速度可以不同，则通过F-v2图像，可得到小球通过最高点时杆的弹力和小球速度大小的定量关系，从而找到解题的突破口．
ACD　[对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图像可知a－mg＝0；当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合图像可知mg＝，联立解得g＝，m＝，选项A正确，B错误．由图像可知b＜c，当v2＝c时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝，则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，选项C正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律可得mg＋F′＝，可得F′＝mg，选项D正确．]
竖直平面内圆周运动的分析方法
物体在竖直平面内做圆周运动时：
1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．
2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．
3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．
1.(多选)如图所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　)
A．受到向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
CD　[体在最低点时受到重力mg、支持力FN和摩擦力Ff，如图所示，其沿径向的合力Fn提供向心力，Fn＝m，A错误．由Fn＝FN－mg，得FN＝mg＋m，则物体受到的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，B错误，C正确．Ff水平向左，故物体受到的合力斜向左上方，D正确．]
物体在球壳最
低点的受力分析
火车转弯问题分析
1．明确圆周平面
火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平方向指向轨道的圆心．
2．受力特点
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力．
3．速度与轨道压力的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无挤压作用；
(2)若火车行驶速度v0>，外轨对轮缘有侧压力；
(3)若火车行驶速度v0<，内轨对轮缘有侧压力．
【例2】　有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
思路点拨：解答本题时可按以下思路进行分析：
[解析]　 (1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝m＝ N＝105 N.
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.
(2)火车的重力和铁轨对火车的弹力的合力提供向心力，如图所示，
则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1.
[答案]　(1)105 N　(2)0.1
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
2．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是(　　)
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
AD　[设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．]
对离心运动的理解
1．离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力．
2．离心运动、近心运动的判断：物体做离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F与所需向心力(m或mrω2)的大小关系决定．(如图所示)
(1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若F＞mrω2(或m)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若F＜mrω2(或m)，即“提供”不足，物体做离心运动．
(4)若F＝0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出．
【例3】　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B　[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]
分析离心运动需注意的问题
1．物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力．
2．离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．
3．摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，做离心运动．
3.如图所示，在光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A　[F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误．]
1．通过阅读课本，几个同学对生活中的圆周运动的认识进行交流．甲说：“ 洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动．” 乙说：“ 火车转弯时，若行驶速度超过规定速度，则内轨与车轮会发生挤压．” 丙说：“ 汽车过凸形桥时要减速行驶，而过凹形桥时可以较大速度行驶．” 丁说：“ 我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，这也是利用了离心现象．” 你认为正确的是(　　)
A．甲和乙 　　　　　　B．乙和丙
C．丙和丁 D．甲和丁
D　[甲和丁所述的情况都是利用了离心现象，D正确；乙所述的情况，外轨会受到挤压，汽车无论是过凸形桥还是凹形桥都要减速行驶，A、B、C选项均错．]
2.(多选)如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则(　　)
A．衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供
B．圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力也增大
C．圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D．圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大
BC　[衣服做圆周运动的向心力由桶壁的弹力提供，A错误．转速增大，衣服对桶壁压力增大，而摩擦力保持不变，B正确，D错误．转速足够大时，衣服上的水滴做离心运动，C正确．]
3.(多选)火车在铁轨上转弯可以看做是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
BD　[当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]
4．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　)
A. B．2
C. D.
C　[小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界条件为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．]
5．如图所示，小球A质量为m，固定在长为L的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：
(1)小球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．
[解析]　(1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力F＝mg或支持力F＝mg
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得
mg±F＝m ①
F＝mg ②
解①②两式，可得v＝或v＝0.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F′，设向上为正方向
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，F′－mg＝m，解得F′＝mg＋m＝7mg，
故球的向心加速度a＝＝6g.
[答案]　(1)或0　(2)7mg　6g