北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第1讲 等腰三角形(基础)含答案

等腰三角形（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关角度的计算题
1、（2019春?太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．
【答案与解析】
解：∵AB=BD，
∴∠BDA=∠A，
∵BD=DC，
∴∠C=∠CBD，
设∠C=∠CBD=x，
则∠BDA=∠A=2x，
∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
解得：x=25°，所以2x=50°，
即∠A=50°，∠C=25°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．

举一反三：
【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
【答案】
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，
则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC中，根据三角形内角和得，
＋＋180°－4＋180°－4＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②
由① ，②解得＝36°
∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.
类型二、等腰三角形中的分类讨论
2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案与解析】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的长为( )．
A．10或6 B．10 C．6 D．8或6
【答案】A；
解 ：∵ |AC－BC|＝2，∴ AC－BC＝±2．
又BC＝8．
∴ AC＝10或6．
∴ AB＝10（）或（6）．
类型三、等腰三角形的性质及其运用
4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．
求证：∠ACB＞∠ABC
【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC即可．
【答案与解析】
证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC＞∠B，
∴∠ACB＞∠ABC．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE和∠AEC＞∠ABC是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
【答案与解析】
证明：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠2=60°，
∵BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=30°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠3，
∴∠E=∠2=30°，
∴∠E=∠1，
∴DB=DE．
类型四、等腰三角形的判定
5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；
（2）由等腰三角形两腰相等求解；
（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；
（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度．
【答案与解析】
解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形，
同理△EOC是等腰三角形；
（2）∵BD=4、CE=3，
∴由（1）得出DO=4，EO=3，
∴DE=DO+OE=4+3=7；
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周长=AB+AC，
∵AB=12、AC=9，
∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形，
∴BD=DO，CE=OE，
∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．
举一反三
【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵，
∴△EBO≌△DCO（AAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
类型五、 含有30°角的直角三角形
6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.

【答案与解析】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°
∴在Rt△ACD中，AD=AC，
又∵∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，
∴∠B=30°，
∴AC=AB ∴AD= AB，
则AD=BD，即BD=3AD.【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
举一反三：【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，
又∵∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴BC=2CD=2×4=8cm．
类型六、反证法
7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
【答案】已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
举一反三：
【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）
A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2
【答案】A．
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019?曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）
A. 假设CD∥EF ;
B. 假设AB∥EF
C. 假设CD和EF不平行
D. 假设AB和EF不平行
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A. 4个 　　　B. 3个 　　　C. 2个　　　 D. 1个
4. 已知实数x，y满足|x?4|+(y?8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.（2019?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°． 　
8.（2019?嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是　 　．
9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.
10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　_________　．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .
三.解答题
13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
14.（2019春?安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：∵外角等于100°，
∴这个内角为80°，
当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；
当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；
故选D．
2. 【答案】C；
【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．
3. 【答案】B；
4. 【答案】B；
【解析】根据题意得,
解得
.（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．
5. 【答案】C；
【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.
6. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），
∴以OA为腰的等腰三角形有3个；
作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，
综上所述，符合条件的点P共有4个，
故选：D．
二.填空题
7. 【答案】20；
【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.
8. 【答案】12；
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，
∵2+2=4＜5，
∴不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，
能组成三角形，
周长=2+5+5=12，
综上所述，它的周长是12．
故答案为：12．
9. 【答案】两直线平行；
【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.
10.【答案】70°或40°；　
【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．
故答案为：70°或40°.
11.【答案】②③④；
【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD，
∴AB+BD=AC+CD；
∴两式相加得，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
故填②③④．
12.【答案】8；
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．
三.解答题
13.【解析】
证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，
∵AB＝AC，AE＝AD．
∴设∠B＝∠C＝，则∠EAD＝2，
∴∠ADE＝
即∠BDH＝90°－
∴∠B＋∠BDH＝＋90°－＝90°，
∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.
14.【解析】
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
则有或，
解得：或，
此时两种情况都符合三角形三边关系定理，
答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．
15.【解析】
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；
所以假设错误，原命题正确；
即等腰三角形的底角是锐角．