北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 角的平分线的性质(基础)

角的平分线的性质（基础）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF./
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB/
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图/
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.　　（2）分别以D、E为圆心，大于/DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.　　（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为/，旁心为/，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
/
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
/1．（2019春?启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
/
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【答案与解析】
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
/，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
/2、（2019春?潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．
/
【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．
【答案与解析】
解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，
∴CD=DE，
∴△CAD≌△EAD(HL)
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．
【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且/，则△ABD与△ACD的面积之比为（　 ）
A．3：2 B．/ C．2：3 D./
/
【答案】B；
提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵/，则△ABD与△ACD的面积之比为/．
/3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
/
【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.
【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
/，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.
类型二、角的平分线的判定
/4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线./
【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）　　　 ∴∠CDF＝∠BEF＝90°　　　 ∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)　　　 ∵ BF＝CF(已知)　　　 ∴△DFC≌△EFB(AAS)　　　 ∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)　　　 ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）　　　 ∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)　　　　即AF为∠BAC的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.
举一反三：
【变式】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．
/
【答案】
证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
/，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
【巩固练习】
一.选择题
1. AD是△ABC的角平分线, 自D点向AB、AC两边作垂线, 垂足为E、F, 那么下列结论中错误的是( )
A.DE ＝ DF B. AE ＝ AF C.BD ＝ CD D. ∠ADE ＝ ∠ADF
2．（2019?高新区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（　　）
/
A．8 B．12 C．4 D．6
3．（2019?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于/MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
/
A．15 B．30 C．45 D．60
4. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点 　　　　　　　B.三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点　　　　D.三角形三条内角平分线的交点
5. 如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（ ）
A．△PBA≌△PDC B. △AOD≌△COB
C. AB⊥PD，DC⊥PB D.点O到∠APB两边的距离相等.
/
6. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5/，则直线AB与CD的距离为（ ）
A. 5/ B. 10/ C. 15/ D. 20/
/
二.填空题
7．（2019?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　　．
/
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6/，那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE＋DE＝　　　。
/
9. 已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
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10.如图,直线/、/、/表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有 处.
/
11．（2019春?晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=　 　（度）．
/
12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法　　（1）AD＝CD　　 　　　　　　　　(2)D到AB、BC的距离相等　　（3）D到△ABC的三边的距离相等 （4）点D在∠B的平分线上　　其中正确的说法的序号是_____________________.　　/
三.解答题
13．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
/
　　　　　　　　　　　　
14．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．
/
15. 已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.
求证：一点F必在∠DAE的平分线上．
/
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
2.【答案】D；
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
/，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50﹣S，
解得S=6．
故选D．
/
3.【答案】B；
【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=/AB?DE=/×15×4=30．
/
4.【答案】D；
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.
5.【答案】C ；
【解析】C项中，仅表示了到两边的距离，没说明相等.
6.【答案】B；
【解析】由题意知点O到AC、AB、CD的距离相等，都等于5/，所以两平行线间的距离为5＋5＝10/.
二.填空题
7. 【答案】2；
【解析】作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=/PC=/×4=2
∴PD=PE=2.
8. 【答案】角平分线，6/；
【解析】AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝6/.
9. 【答案】OP＝OM＝ON
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等.
10.【答案】4；
【解析】内角平分线交点一个，外角平分线交点三个.
11.【答案】100；
【解析】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案为：100．
12．【答案】(2)(3)(4).
三.解答题
13.【解析】
（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
/
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
/
14.【解析】
解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E
∴DE＝CD
可证Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
设△BCD的面积＝△BED的面积＝3/，△BCA的面积为8/，
△ADE的面积为8/－6/＝2/，
∴△ADE与△BCA的面积之比为2/：8/＝1:4．
15.【解析】
证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC
∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.
∴FM ＝FP， FN＝FP（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴FM ＝ FN
∴点F必在∠DAE的平分线上.（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）
/